Wie löst man diese Gleichung geschickt?
Wie löst man diese Gleichung am einfachsten?
Danke!
5 Antworten
Erweitere diesen Ausdruck
x / ( x^2 + 1 )
mit 1/x^2 (wenn x ungleich 0)
das macht
(1/x) / ( 1 + (1/x^2) )
So hast du, wenn x <> 1/x, Paare, wo der Ausdruck gleich wird, etwa x = 2 und x = 1/2.
Schau dir die Funktion y=x/(x²+1) an. Du suchst nach Punkten mit gleicher Ordinate y∊[−½, ½]:
a) y=0: x₁=x₂=0
b) y≠0: z/(z²+1)=y ⇔ yz²−z+y=0 ⇔ z₁,₂ = [ 1 ± √(1−4y²) ] / 2y.
Für y=±½ ist z₁=z₂=±1. Das ist dann auch die Lösung Deiner Gleichung.
Ansonsten hat Deine Gleichung 4 Lösungen mit x₁, x₂ ∊ { z₁, z₂ }.
Ich würde jeweils mit den Nennern kreuzmultipizieren, um die Brüche loszuwerden.
Dann erhälst du eine Gleichung mit zwei Unbekannten.
Bei so etwas gibt es i.A. keine eindeutige numerische Lösung; dazu bräuchtest du zwei Gleichungen.
Was du machen kannst, ist diese Gleichung als quadratische Funktion entweder von x₁ oder x₂ zu verstehen und die Lösungen mithilfe der üblichen Methoden zum Lösen von quadratischen Gleichungen zu ermitteln.
Diese Lösung ist dann aber keine Zahl, sondern ein Ausdruck in Abhängigkeit der anderen Variable.
Also, wenn du die Gleichung für x₁ löst, bekommst du Lösungen, die x₂ enthalten, und umgekehrt.
Weil die Gleichung symmetrisch ist, kannst du einfach x₁ und x₂ vertauschen, um die Lösung für die andere Variable zu bekommen.
Konkret ist es so, dass man zwei Lösungen bekommt, wie so oft bei quadratischen Gleichungen.
Die eine Lösung ist x₁ = x₂, die andere x₁ = 1/x₂.
Ah, richtig, es sollte "eindeutige" Lösung heißen. (Kommt davon, wenn man eine Antwort mitten in der Nacht schreibt...)
Dass jedes Wertepaar, bei dem x₁ = x₂ gilt, eine Lösung ist, hatte ich ja am Ende auch geschrieben.
Trotzdem danke für den Hinweis, ich habe die Formulierung korrigiert. 😀
a/(a²+1) = b/(b²+1)
a=0 und b=0 ist eine Lösung, deshalb kann man diese Lösung ausschließen und die Gleichung reziprok nehmen:
(a²+1)/a = (b²+1)/b
Kreuzweise multiplizieren:
(a²+1)*b = (b²+1)*a
Auf eine Seite bringen:
a²*b - a*b² + b - a = 0
Diese Gleichung wird jetzt in die Form (c+d)(e+f) = 0 gebracht. Allgemein gilt:
(c+d)(e+f) = c*e + d*e + c*f + d*f
Setzt man f=-1, dann folgt c=-b und d=a, weiter folgt dann e=a*b
Die Gleichung a²*b - a*b² + b - a = 0 ist somit identisch mit
(a - b)(a*b - 1) = 0
Lösungen: a=b und a*b=1
Lass dir nichts von ChatGPT ohne Prüfen erzählen. Mache eine quadratische Gleichung daraus und benutze pq. ChatGPT kann genauso Fehler machen wie du oder ich.
es gibt unendlich viele "einfache" numerische Lösungen.
im Reellen ist hier zum Beispiel jedes x1=x2 eine Lösung.