Wo ist mein Fehler (charakteristisches polynom)?

Hallo,

Ich gehe gerade eine Analysis und lineares Algebra Altklausur durch und frage mich wieso in der Musterlösung kein minus vor dem z steht? Was mache ich falsch?

Schon mal danke für jede Hilfe

Answer 1

[FataMorgana2010]

Das charakteristische Polynom einer Matrix A ist definiert als

$\chi_{A}(z) := \det (z E_n - A)$

Du berechnest aber

$\det (A - z E_n)$ und es gilt

$\det (A - z E_n) = \det (-1(z E_n - A)) = (-1)^n * \det (z E_n - A)$

Und da n=3 ist, hast du am Ende also ein -1 zuviel.

Aber eigentlich ist das egal - man interessiert sich ja für die Nullstellen, und die sind natürlich gleich. $\chi_{A}$

Comments

[eterneladam]

Überraschung für mich, ich habe det(A-xI) gelernt ...

[FataMorgana2010]

@eterneladam

Beides ist sogar möglich und kommt auch in der Literatur so vor. Wiki nimmt "meine" Version, mit dem Hinweis, dass man dann immer ein normiertes Polynom hat.

Und wie gesagt - ist eh Banane, denn was will ich vom charakteristischen Polynom? Nullstellen. Und die sind gleich, linksrum oder rechtsrum.

[FataMorgana2010]

@FataMorgana2010

Das scheint tatsächlich auch eine "Mode" zu sein. Ältere Skripte (sehr kurze Recherche meinerseits) machen es wie du, was ja auch bei der Berechnung von Hand einfacher ist, weil man nur auf der Diagonale was abzieht und der Rest gleich bleibt, neuere Skripte machen es andersherum, oft genau mit dem Hinweis auf die Normierung.

Answer 2

[Rammstein53]

Deine Lösung ist richtig, die in der Aufgabe ist falsch. Die Determinante von A - z*E lautet:

-z³ + 4 z² - 4 z = -z*(z² - 4 z + 4 ) = -z*(z-2)²

Answer 3

[Halbrecht]

gehört da unten nicht auch ein MINUS 1 hin ?

Comments

[Fabien02]

Schon aber ich hab das nich so ausführlich hingeschrieben. Da steht eigentlich (3-z)*(1-z)-1*(-1) was zusammengefasst +1 ist