Hey, lässt sich dieses folgende Gleichungssystem nur mithilfe von dem Gauß-Verfahren lösen?

Hey, lässt sich dieses folgende Gleichungssystem nur mithilfe von dem Gauß-Verfahren lösen, oder gibt es auch andere Möglichkeiten. Wenn ja, wie löst man dieses Gleichungssystem?:

Vielen Dank.

Answer 1

[mihisu]

Das lässt sich auch mit anderen Methoden lösen. Beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren... Idee dahinter: Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze das in die anderen Gleichungen ein. So hat man dann in den anderen Gleichungen weniger vorkommende Variablen. Wiederhole das, bis du eine Gleichung hast, die nur noch von einer Variablen abhängt, um deren Wert zu erhalten. [Danach: Rückwärts-Einsetzen]

https://de.wikipedia.org/wiki/Einsetzungsverfahren

Das kann dann im konkreten Fall beispielsweise so aussehen...

[Das sieht jetzt evtl. nach mehr aus, als es eigentlich ist, da ich bei jedem Schritt auch die unveränderten Gleichungen nochmal mit abschreibe. Das könnte man auch kompakter aufschreiben.]

$\begin{cases} [\text{A}_1]: & a+r-4s=-17 \\ [\text{B}_1]: & 2r+2s=6 \\ [\text{C}_1]: & -2a-r+s=-3 \end{cases}$

Auflösen der Gleichung [A₁] nach a.

$\begin{cases} [\text{A}_2]: & a=-r+4s-17 \\ [\text{B}_1]: & 2r+2s=6 \\ [\text{C}_1]: & -2a-r+s=-3 \end{cases}$

Einsetzen von [A₂] in [C₁].

$\begin{cases} [\text{A}_2]: & a=-r+4s-17 \\ [\text{B}_1]: & 2r+2s=6 \\ [\text{C}_2]: & -2\cdot \left(-r+4s-17\right)-r+s=-3 \end{cases}$

Die Gleichung [C₂] etwas vereinfachen.

$\begin{cases} [\text{A}_2]: & a=-r+4s-17 \\ [\text{B}_1]: & 2r+2s=6 \\ [\text{C}_3]: & r-7s+34=-3 \end{cases}$

Die Gleichung [B₁] nach r auflösen.

$\begin{cases} [\text{A}_2]: & a=-r+4s-17 \\ [\text{B}_2]: & r=-s+3 \\ [\text{C}_3]: & r-7s+34=-3 \end{cases}$

Einsetzen von [B₂] in [C₃].

$\begin{cases} [\text{A}_2]: & a=-r+4s-17 \\ [\text{B}_2]: & r=-s+3 \\ [\text{C}_4]: & -s+3-7s+34=-3 \end{cases}$

Die Gleichung [C₄] etwas vereinfachen.

$\begin{cases} [\text{A}_2]: & a=-r+4s-17 \\ [\text{B}_2]: & r=-s+3 \\ [\text{C}_5]: & -8s+37=-3 \end{cases}$

Die Gleichung [C₅] nach s auflösen.

$\begin{cases} [\text{A}_2]: & a=-r+4s-17 \\ [\text{B}_2]: & r=-s+3 \\ [\text{C}_6]: & s=5 \end{cases}$

Den bei [C₆] für s erhaltenen Wert in [B₂] einsetzen, um den Wert für r zu erhalten.

$\begin{cases} [\text{A}_2]: & a=-r+4s-17 \\ [\text{B}_3]: & r=-5+3=-2 \\ [\text{C}_6]: & s=5 \end{cases}$

Den bei [C₆] für s erhaltenen Wert und den in [B₃] für r erhaltenen Wert in [A₂] einsetzen, um den Wert für a zu erhalten.

$\begin{cases} [\text{A}_3]: & a=-\left(-2\right)+4\cdot 5-17= 5\\ [\text{B}_4]: & r=-2 \\ [\text{C}_6]: & s=5 \end{cases}$

Lösung: (a = 5, r = -2, s = 5)

$\begin{cases} [\text{A}_4]: & a=5\\ [\text{B}_4]: & r=-2 \\ [\text{C}_6]: & s=5 \end{cases}$

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Und es gibt noch weitere Verfahren, um dieses Gleichungssystem zu lösen. Beispielsweise...

• https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichsetzungsverfahren
• https://de.wikipedia.org/wiki/Additionsverfahren_(Mathematik)
• https://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsches_Eliminationsverfahren
• https://de.wikipedia.org/wiki/Gauß-Jordan-Algorithmus
• https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel

Darunter befindet sich auch das von dir angesprochene Gauß-Verfahren. Es gibt aber kein Gleichungssystem, welches sich nur mit dem Gauß-Verfahren lösen lässt. Es gibt immer auch andere Rechenwege.

Answer 2

[gauss58]

Rechne Gl. (III) + 2 * Gl. (I), dann fällt a in Gl. (III) heraus und anschließend 2 * Gl. (III) - Gl. (II), damit fällt r in Gleichung (III) heraus. Das führt zu s = 5. ...

Comments

[Arian88]

Okay, vielen Dank. Wie erhalte ich nun die Werte für die Variablen a und r?

[gauss58]

@Arian88

s in die zweite Gleichung einsetzen und r bestimmen:

2 * r + 2 * 5 = 6

r = -2

s und r in die erste Gleichung einsetzen und a bestimmen:

a - 2 - 4 * 5 = -17

a = 5

Answer 3

[NostraPatrona]

Warum sollte man? Das Gauß-Verfahren ist immer am einfachsten. Hast du das noch nicht richtig verstanden?

Answer 4

[GWEckenberg]

Gauss ist nur eine formale Methode. Es muss nicht Gauss sein, aber Formen von Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additions-Verfahren sind schon am einfachsten.

Ich würde 2x Gleichung 1 zu Gleichung 3 als erstes addieren, dann ist a eliminiert.

-1/2 x die zweite Gleichung zum Ergebnis liefert s.

Answer 5

[Aurel8317648]

Es gibt keine Gleichungssysteme, die sich nur mit dem Gauß Verfahren lösen lassen. Jedes Gleichungssystem, das ich mit dem Gauß Verfahren lösen lässt, lässt sich z.B auch mit dem Additionsverfahren lösen.