Lineares Gleichungssystem mit Gauß oder Cramersche Regel lösen?
Womit ist man schneller? Gibt es Fälle, wo eine der beiden Verfahren besser dafür geeignet ist?
4 Antworten
Meine Stimme besitzt einiges Gewicht; ich bin in der teoretischen Kernphysik promoviert.
Die Cramersche Regel ist hochgradiger Schwachsinn; ihr Aufwand wächst mit n ! Ein Computerprogramm müsste die Signatur sämtlicher Vertauschungen ermitteln und wie gesagt n ! Terrme aufsummieren.
Hast du überhaupt verstanden, wie es zur Cramerregel kommt? ===> Grassmann-Algebra; rein teoretisch ist ihr Beweis ja easy.
Gauß ließe sich praktisch damit rechtfertigen, dass du durch geeignete Linearkombinationen, die " LMNTaren Umformungen " , die Koeffizientenmatrix A des LGS ersetzt durch eine Dreiecksmatrix D , von der du aber weißt, dass sie die selbe Determinante hat wie A . Die Determinante von D ist einfach gleich dem Produkt ihrer Diagonal-Elemente; Cramer wendest du praktisch erst am Schluss an, nachdem du das LGS umgeformt hast.
Hier passiert noch etwas anderes Mega Schlimmes. Mit Sicherheit ist die Determinante eine stetige Funktion der Matrixelemente; dies schließt aber schlechte Konditionierung nicht aus. Sagen wir du verdoppelst ein kritisches Matrixelement; und die Determinante verfielfacht sich um (E100)
Bei Polynomen passiert ja was Ähnliches; da versuchst du dem Chaos mittels des Hornerschemas zus teuern. Das bietet den Vorteil, dass die gesamte Rechnung in eine Kette aus linearen, also gutartigen Funktionen zerlegt wird.
Genau so hier; der Haupttrick hinter dem Gauß ist ja das ===> Pivotisieren. So bald eben sämtliche Matrixelemente ( dem Betrage nach ) unter einem € bleiben, sage ich nee Karl-Otto. Schlecht konditioniert. Einer guten Gauß Subroutine musst du diees € mit geben. Es gibt ein Event oder Status Error zurück; in Fortran gibt es sogar den " Specified Return " , der aber heute nicht mehr so gern gesehen ist.
In der Regel ist man mit Gauß schneller, die cramersche Regel eignet sich eigentlich nur bei der theoretischen Betrachtung, um die ein oder andere Aussage zu beweisen, oder wenn die Matrix schwach besetzt ist (wobei es auch hier teilweise effizientere Verfahren gibt).
Wenn man in Bücher zur numerischen Mathematik schaut, in denen Quellcode oder Pseudocode zu Programmen präsentiert wird, so wird meistens immer nur Gauß vorgestellt.
Ich persönlich bin mit der cramerschen Regel schneller.
Habe die erst eben in der Mathematik I Klausur verwendet
