Lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen, und 4 Gleichungen mithilfe des Einsetzungsverfahrens lösen?
Hallo,
ich sitze aktuell verzweifelt in meiner Klausurvorbereitung in Mathe an der Uni. Nun stellt sich mir die Frage, ob sich ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen, jedoch nur 3 Variablen mithilfe des Einsetzungsverfahrens lösen lässt & wenn ja, wie?
Das liegt mir einfach am besten, und würde mir für die Prüfung ausreichen.
Danke euch & liebe Grüße
Hier einmal ein Beispiel:
Könntest du vielleicht eine Beispielaufgabe geben, dann wäre die Frage leichter zu verstehen und es wäre leichter eine Antwort zu geben (Meine Meinung).
Klar, moment.
Edit: ist angefügt. :)
4 Antworten
Man lässt zuerst eine Gleichung weg, z.B. die letze der vier.
Dann löst man das verbleibende Gleichungssystem.
Da gibt es drei Fälle:
- Wenn es genau eine Lösung hat, setzt man die in die vierte Gleichung ein. Wenn die erfüllt ist, hat das Gesamt-Gleichngssystem genau diese Lösung, ansonsten keine.
- Wenn es keine Lösung hat, dann gibt es keine.
- Wenn es unendlich viele Lösungen hat, dann versucht man es mit dem Weglassen einer anderen Gleichung. Wenn es jetzt immer noch unendlich viele Lösungen gibt, dann ist das eben so.
Da ich mich mit dem Einsetzungsverfahren auch dauernd verrechnete, habe ich die Cramersche Regel angewendet. Die liefert für die ersten drei Gleichungen x1 = 5, x2 = -1, x3 = 5. Das passt auch zur vierten Gleichung, so dass das die Lösung des Gesamt-Gleichungssystems ist.
Wenn der Rang der Koeffizientenmatrix und der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix gleich sind, ist das Gleichungssyystem lösbar.
Wie schon geschrieben lässt Du soviele Gleichungen weg, bis die Anzahl der Gleichungen der Anzahl der Variablen entspricht.
Hier würde ich einfach die letzte weglassen, die vorletzte nach x3 umstellen und dann damit x3 in den ersten beiden Gleichungen ersetzen. Somit hast Du nur noch 2 Gleichungen mit 2 Variablen (x1 und x2). Hast Du das dann gelöst, ermittelst Du noch x3 mit der umgestellten dritten Gleichung.
Mit den Ergebnissen prüfst Du dann die 4. Gleichung.
Denk Dir eine Gleichung weg.
Wenne Du keine Lösung bekommst, sind 2 Gleichungen identisch und Du muß eine von den beiden gegen die 4. tauschen.
Ansonsten kannst Du die 4. Gleichung als Probe verwenden
Funktioniert das dann mithilfe des Einsetzungsverfahren? Denn ich habe was völlig anderes raus, als in den Lösungen geschrieben, wo auch steht es gäbe nur eine Lösung. Danke dir!