Was ist wenn die 2. Ableitung bei extrema Null ist?
Habe das Problem, dass mein Extrem wert in der 2. Ableitung Null ist. Muss ich dann nochmal per Vorzeichenwechselprobe das ausrechnen. Oder was muss amn tun?
6 Antworten
Wir betrachten die Ableitungen, der Funktion an der Stelle x0
Wenn f ' (x0) = und f '' (x0) ≠ 0, dann handelt es sich nicht um einen Extremwert
Wenn f ' (x0) = f'' (x0) = 0 und f ''' (x0) ≠ 0, dann handelt es sich nicht um einen Extremwert, sondern um einen Sattelpunkt ( = Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente
Wenn f ' (x0) = f'' (x0) = f '''(x0) = 0 und f '''' (x0) ≠ 0, dann handelt es sich wiederum um einen Extremwert
Wenn f ' (x0) = f'' (x0) f''' (x0) = f '''' (x0) = 0 und f ''''' (x0) ≠ 0, dann handelt es sich nicht um einen Extremwert, sondern um einen Sattelpunkt ( = Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente
... usw ... Immen eine Ableitung höher, bis Du eine Ableitung findest, die an der Stelle x0 ungleich Null ist. Handelt es sich dabei um eine gerade Ableitung, dann liegt ein Extrenwert vor, handelt es sich um eine ungerade Ableitung, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Gegeben ist eine Funktion f eine Extremstelle der Funktion f muss notwendigerweise die folgende (notwendige) Bedingung erfüllen -> f'(x) = 0 Da nicht nur Extrema die waagerechte Tangente besitzen können (vgl. Sattelpunkt) muss noch die folgende (hinreichende) Bedingung untersucht werden. Vorzeichenwechsel (VZW) in f'(x) um xe Nehmen wir mal eine Beispielsfunktion.
f(x) = 1/2 x^2 +2x +3 -> f'(x) = x + 2 | 0 = x + 2 |-2
-2 = x ... x1 = -2 Das war die notwendige Bedingung
testen wir nun, ob diese Gleichung zweiter Ordnung auch kein Sattelpunkt ist (ist sowieso nicht der Fall da Funktion zweiter Ordnung ist erst der Fall bei Funktion dritter Ordnung :) )
Hinreichende Bedingung VZW: zwischen -2 liegt -3 und -1
f'(-3) = 1x(-3) + 2 = -1 < 0 f'(-1) = 1x(-1) + 2 = 1>0
Das heißt ... negative Steigung und dann eine positive... also Tiefpunkt.
Eigentlich müsstest du das.
Mit den weiteren Berechnungen aber ist es immer so eine Sache. Dritte Ableitung wegen Krümmung, bei nur axⁿ gibt es auch Besonderheiten ...
Für den Hausgebrauch:
Wenn an einer Stelle die 1. und die 2. Ableitung gleich Null ist, besteht zumindest die Vermutung eines Sattelpunkts. Wenn man schon bei der 2. Ableitung ist, hat man meist Punkte genug, die Funktion zu skizzieren. Und dann sieht man auch auf einen Blick, ob da ein Sattelpunkt ist oder nicht.
Die allfälligen Nachuntersuchungen kann man dann immer noch vornehmen.
(Verifikation durch f '''(x) etc.)
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das Extremum (Singular)
die Extrema (Plural)
Hi,
ja, genau. An dieser Stelle "scheitert" die Rechnung mit der zweiten Ableitung und du musst das Vorzeichenwechselkriterium anwenden. Damit bekommst du mit Sicherheit eine Lösung.
Lg Lfy
Wenn die 1. und 2. Ableitung 0 sind, dann ist es ein Sattelpunkt --> kein Extrempunkt
Das ist einfach falsch. Siehe z.B. x^4