Trick wie ich Matrizen finde, mit der eine andere Matrix multipliziert 0 ergibt?
Hi, ich habe eine Matrix und soll diese mit einer anderen Matrix nun multiplizieren.
Dabei soll durch die Multiplikation 0 herauskommen. Also eine Matrize, die nur 0´en enthält.
Eine Möglichkeit wäre es, dass ich eine zweite Matrix nehme, die nur 0´en enthält. Aber welche Möglichkeiten gibt es noch?
Also gibt es ein Verfahren, solche Matrizen zu finden, die mit einer anderen Matrize multipliziert = 0 ergibt?
3 Antworten
Hier wäre eine andere Möglichkeit:
- Berechne den Kern der Matrix
- Falls der Kern trivial ist, hast du verloren
- Ansonsten: Definiere eine nicht-triviale lineare Abbildung, deren Bild im Kern der Matrix enthalten ist. Dafür genügt es, die Basis-Vektoren in den Kern abzubilden.
- Ermittle die darstellende Matrix deiner neuen Abbildung.
- Wenn du deine neue Matrix (von rechts) an die erste Matrix dranmultiplizierst, kommt 0 heraus.
Der Kern ist "trivial", wenn er nur aus dem Nullvektor besteht.
Zum Punkt 3: Normalerweise musst du ja für jedes x im Definitionsbereich angeben, was f(x) sein soll, um eine Abbildung zu definieren. Wenn der Definitionsbereich z.B. die Menge {1,2} ist, muss ich f(1) und f(2) angeben.
Bei linearen Abbildungen aber reicht es aus, f(x) nur für die Basisvektoren x zu definieren - durch diese sind dann alle anderen Funktionswerte eindeutig bestimmt. Also z.B. im IR² muss ich nur f((1,0)) und f((0,1)) angeben [ich könnte auch eine andere Basis wählen, Hauptsache die Funktionswerte auf irgendeiner Basis sind definiert].
Du kannst LGS mit jeder Methode lösen, die dir passend erscheint. Manchmal geht's einfacher als mit dem Gaußverfahren, manchmal nicht.
Nennen wir deine n x n Matrix A, dann löse das LGS Ax = 0 mit x= (x1, ...., xn)^T.
Du kannst dann die zweite Matrix aus Spalten zusammenbauen, welche das LGS lösen.
Multipliziert man zwei nxn Matrizen A und B, werden nxn Skalare aus den n Zeilen- und n Spalten-Vektoren berechnet. Da alle Skalare Null ergeben, müssen alle Zeilen- und Spalten-Vektoren von A und B senkrecht aufeinander stehen.
Da es im n-dim. Vektorraum nur n orthogonale Vektoren gibt, funktioniert das nur, wenn entweder alle Zeilen- oder Spalten-Vektoren von A linear abhängig sind.
Danke, wie erkenne ich, ob der Kern trivial ist, nachdem ich diesen berechnet habe=?
Und zum Punkt 3, was genau meint es, dass es genügt die basis Vektoren in den kern abzubilden?
Brauche ich bei z. B. eienr 3x3 Matrix nicht immer das Gaußverfahren dann, für die nciht trivalen? Oder gehts eifnacher?