Wie potenziere ich Matrizen?
Wie berechne ich Matrizen mit Potenz, zB: A^14 ?
6 Antworten
Auch für Matrizen gilt:
A ^ x * A ^ y = A ^ (x + y)
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Es kommt also wohl darauf an, einen Weg zu finden, mit möglichst wenig Matrizenmultiplikationen von A auf A ^ 14 zu kommen.
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Ich denke, dass folgender Weg am günstigsten ist:
A^14 = A^5 * A^9
= A^2 * A^3 * A^3 * A^3 * A^3
= A^2 * (A^3 * A^3)^2
= (A * A) * ((A * A) * A)^2)^2
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Dieser Weg erfordert
1 Multiplikation ( A -> A ^ 2 )
1 Multiplikation ( A ^ 2 -> A ^ 3 )
2 Multiplikationen ( A ^ 3 -> A ^ 6 -> A ^ 12 )
1 Multiplikation ( A ^ 12 -> A ^ 14 )
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insgesamt also 5 Matrizenmultiplikationen.
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Wer kann es schneller?
Du weißt, wie man Matrizen multipliziert?
Wenn du z.B. A^3 rechnest, multiplierst du A einfach dreimal mit sich selbst, also A^3=A * A * A. Kann u.U. eine wahnsinnige Arbeit sein, ist aber nötig. Oder du schaffst dir einen guten Taschenrechner an.
normalerweise darf man in abi-klausuren taschenrechner verwenden. da kannst du das ganze i.d.r. so eintippen. (jedenfalls dürfen wir das hier in niedersachsen.)
Für Matrizen ist die Funktion A^n so definiert, dass man die Matrix A^14 erhält durch:
A^14 := A(A(A(A(A(...)))))
Diese Definition verwendet das Assoziativ gesetzt und stellte infach nur eine Erweiterung der Definition der Multiplikation von Matrizen dar. Voraussetzung für die Existenz eines potenzierten Matrix ist, dass es sich um eine quadratische Matrix handelt.
VG, dongodongo.
Bei manchen Matrizen erkennt man auch nach der ersten oder zweiten Potenz eine gewisse Regel, mit der man dann weiter verfahren kann; ganz einfach geht es ja zB bei Diagonalmatrizen.
Ich nehme mal an, ihr hattet noch keine Jordanmatrizen? Damit würde es immer fast so einfach gehen.
A * A bedeutet A^2, und A^14 ist die Matrix 14 mal mit sich selbst multipliziert.
Da hilfts natürlich, wenn man die quadrierte Matrix weiterquadriert. A*A = A^2; A^2*A^2 = A^4; A^4*A^4 = A^8 ...
Dürfte schneller gehen bis A^14 ;)
Gute Idee :) Da bin ich jetzt noch nicht drauf gekommen. Danke!
Mir war schon klar, wie man Matrizen allgemein multipliziert. Dennoch dachte ich, es gäbe evtl einen schnelleren und effizienteren Weg, um das zu berechnen. Diese Aufgabe stammt aus einer Abituraufgabe von 2007. Das kann doch nicht wahr sein, dass die armen tatsächlich 14 !! mal diese Berechnung durchführen müssen... Das ist nur dämliche Schreibarbeit. Trotzdem danke für die Antworten!