Wie potenziere ich Matrizen?

4 Antworten

Da die Aufgaben nicht ganz dumm gestellt werden, ist vermutlich irgendetwas Zyklisches in der Aufgabe verborgen gewesen. Wenn man feststellt, dass beispielsweise A³ wieder A ergibt, hat man auch bei A^12 dieselbe Matrix und braucht nur noch zweimal zu multiplizieren.

Das ist ja ohnehin der Sinn dieser vielen Populationsaufgaben, die Zyklen herauszubekommen. Es ist selten, dass es mal nicht zyklisch oder sogar fix wird.

Für Matrizen ist die Funktion A^n so definiert, dass man die Matrix A^14 erhält durch:

A^14 := A(A(A(A(A(...)))))

Diese Definition verwendet das Assoziativ gesetzt und stellte infach nur eine Erweiterung der Definition der Multiplikation von Matrizen dar. Voraussetzung für die Existenz eines potenzierten Matrix ist, dass es sich um eine quadratische Matrix handelt.

VG, dongodongo.

Bei manchen Matrizen erkennt man auch nach der ersten oder zweiten Potenz eine gewisse Regel, mit der man dann weiter verfahren kann; ganz einfach geht es ja zB bei Diagonalmatrizen.

Ich nehme mal an, ihr hattet noch keine Jordanmatrizen? Damit würde es immer fast so einfach gehen.

Auch für Matrizen gilt:

A ^ x * A ^ y = A ^ (x + y)

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Es kommt also wohl darauf an, einen Weg zu finden, mit möglichst wenig Matrizenmultiplikationen von A auf A ^ 14 zu kommen.

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Ich denke, dass folgender Weg am günstigsten ist:

A^14 = A^5 * A^9

= A^2 * A^3 * A^3 * A^3 * A^3

= A^2 * (A^3 * A^3)^2

= (A * A) * ((A * A) * A)^2)^2

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Dieser Weg erfordert

1 Multiplikation ( A -> A ^ 2 )

1 Multiplikation ( A ^ 2 -> A ^ 3 )

2 Multiplikationen ( A ^ 3 -> A ^ 6 -> A ^ 12 )

1 Multiplikation ( A ^ 12 -> A ^ 14 )

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insgesamt also 5 Matrizenmultiplikationen.

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Wer kann es schneller?

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