Schriftlich hohe zahlen mit Potenzen berechnen zb 8 hoch 7 wie mach ich das schriftlich schnell?
Mit freundlichen Grüßen
5 Antworten
8^7 = 2^21 = 2^10 * 2^10 * 2 = 1024 * 1024 * 2. An der Stelle würde ich anfangen schriftlich zu rechnen, wenn ich nicht zufällig die Potenzen von zwei kenne.
aha, aha ,aha und was wenn das Beispiel ne 7 wäre also 7^7 ? da könntest du nicht auspacken mit (2*2*2)??? sondern das wäre dann (2*2+3) ): ?
zerteilen zerteilen
8 hoch 7 ist 8² * 8² * 8² * 8 .............oder 8³*8*8³
man kann aus 8 auch 2³ machen,
dann hat man 2^21 .............................wenn man weiß , dass 2^10 = 1024 ist muß man nur noch 1024 * 1024 * 2 rechnen.
aber wie gesagt : hier wird zur schnellen rechnung was gewußt !
sonst bleibt einem nix anderes als der erste Vorschlag übrig.
Entweder
8^7 = (8^2 × 8)^2 × 8
oder
8^7 = 8^8 ÷ 2 = ((8^2)^2)^2 ÷ 8
Das erste ergibt sich aus einem Standardverfahren zur Berechnung von Potenzen mit natürlichem Exponenten:
- Eingabe Basis, Exponent (wobei Basis Element eines Ringes ist - also einer mathematischen Struktur, wo zu je zwei Elementen ein Produkt existiert - und Exponent eine natürliche Zahl einschl. 0)
- schreibe 1 in z (für Zwischenergebnis)
- schreibe Basis in b und Exponent in e
- Wenn e=0, weiter bei Schritt 9
- Wenn e ungerade, schreibe z × b in z
- Schreibe den ganzzahligen Teil e÷ 2 in e (oder Ganzzahldivision ohne Rest)
- Schreibe b × b in b
- Weiter bei Schritt 4
- Ausgabe z
8⁷ kann man berechnen in dem man entweder die 1. Binomische Formel für die 7. Potenz anwendet oder, was einfacher ist, mit Quadratzahlen und Kubikzahlen improvisiert. Das sieht dann folgendermaßen aus: 8⁷=8*8*8*8*8*8*8. Und 8*8 = 8² = 64
8*8 kommt 3 mal vor und 8 nur einmal. Also 64³*8 oder 64²*64*8. Dann kann man die 1. binomische Formel für Quadrate anwenden, welche im Prinzip die Multiplikation einer Zahl mit sich selbst vereinfacht darstellt. Dann ist 64² = (60+4)² = 60²+2*60*4+4² = 3600+480+16 = 4096.
Anschließend multipliziert man das Ganze einfach mit 64*8
64*8*4096 = 2097152.
Die Multiplikation von 64*8 kann man übrigens durch die Addition des Mitteltermes 2ab mit +16*2 vereinfachen. Das 16² muss man aber dann ohne Hochzahl schreiben!
So kann man auch sehr hohe Potenzen ausrechnen wie z.B. 0,00005¹⁰⁰⁰. Das wäre dann ((((((1,00005²)⁵)²)⁵)²)⁵) = 1,051269782
Weil man nur abwechselnd hoch 2 und hoch 5 nehmen muss bis man die Potenz 10*10*10 = 2*5*2*5*2*5 erhält.
8^7 ist nichts anderes als (2^3)^7=2^21 Das auszurechnen ist schonmal wesentlich einfacher. Ansonsten gibt es dafür keine Tricks. Hierfür gibt es Computer
Das ist nicht hilfreich da man damit die Sache nicht aufschlüsseln kann. Für Potenzen gibt es die binomischen Formeln, vor allem die allgemeine binomische Reihe und die Möglichkeit zu improvisieren in dem man faktorisiert und das Ganze auf kleinere Potenzen und Produkte zurückführt. Damit kann man theoretisch auch noch bis zu Potenzen und Wurzeln von x¹⁰⁰⁰⁰ rechnen.
wie kommst du drauf das 8^7 gleich 2^21 ist?