Laplace‘scher Entwicklungssatz - nach was entwickelt man da?
Hallo,
ich kann zwar den Laplaceschen Entwicklungssatz und ich benutze den auch immer zur Berechnung von Determinanten weil ich den einfacher finde als Gauß oder Leibniz.
Allerdings verstehe ich den folgenden Satz nicht:
Wenn Spalten oder Zeilen mit wenigen nicht Null Einträgen vorliegen, bietet sich der Laplace‘sche Entwicklungssatz an. Wenn man dann nach der entsprechenden Zeile/Spalte entwickelt, müssen viele Summenden gar nicht erst berechnet werden.
😳
Wie kann man denn nach einer bestimmten Spalte oder Zeile entwickeln? Das kann man sich doch nicht aussuchen oder? Wenn dann müsste man die Zeilen/Spalten ja vorher tauschen, und das würde ja die Determinante beeinflussen oder?
Kann mir das jemand erklären?
ich verstehe genrell den Ausdruck „nach einer bestimmten Zeile entwickeln“ nicht. Swe Entwicklungssatz ist doch immer gleich oder?
4 Antworten
Wieso soll man sich das "nicht aussuchen" können? Wie lautet denn der Entwicklungssatz für Determinanten?
https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Laplacescher_Entwicklungssatz
Was genau an "nach der j-ten Spalte oder der i-ten Zeile" entwickeln ist denn missverständlich?
Und ich verstehe nicht, was mit entwickeln gemeint ist. Für mich war das bisher einfach immer eine Rechnung😳
Wenn ich es z.B. so mache wie ich es bisher immer gemacht habe, also mit der linken Spalte anfange und dann die anderen Spalten rechne, dann würde ich ja theoretisch nach der ersten Zeile entwickeln🤔 Das heißt, ich könnte auch eine andere Zeile dafür nehmen, z.B. die zweite? Ändert sich dadurch dann nicht das Vorzeichen?
Welche Formulierung des Entwicklungssatzes meinst du? Anscheinend die, die nur die erste Zeile oder nur die erste Spalte als "Startlinie" verwendet.
Wenn dann müsste man die Zeilen/Spalten ja vorher tauschen, und das würde ja die Determinante beeinflussen oder?
Ja, ein Tausch zweier benachbarter Zeilen oder Spalten kehrt das Vorzeichen der Determinante um.
Glücklicherweise ist das eine triviale Transformation, sodass man entweder nach einer beliebigen Zeile/Spalte entwickeln kann (Vorzeichen je nachdem, ob die Zeile/Spalte eine ungerade oder gerade Nummer hat) oder die betreffende Zeile/Spalte nach ganz oben/links schieben darf.
Außerdem ändert die Transposition (Tausch von Zeilen und Spalten, Spiegelung an der Hauptdiagonalen) den Wert einer Determinante nicht. Deshalb ist es egal, ob man eine Zeile oder eine Spalte für die Berechnung einer Determinanten heranzieht.
Du suchst Dir die eine Zeile oder Spalte aus, nach der Du entwickeln möchtest und das sollte die Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen sein, da die Nullen als Vorfaktoren der Determinanten der Untermatrizen auftauchen und damit den Rechenaufwand reduzieren.
Wenn Spalten oder Zeilen mit wenigen nicht Null Einträgen vorliegen, bietet sich der Laplace‘sche Entwicklungssatz an. Wenn man dann nach der entsprechenden Zeile/Spalte entwickelt, müssen viele Summenden gar nicht erst berechnet werden.
Der bezieht sich darauf das in diesem Speziellen fall. Der Satz ggf. Effizienter ist. Ansonsten hat der ne Ordnung von O(n!) was imgrunde sehr sehr inneffizient/aufwändig ist. Bei größeren n rechnest du dich schlichtweg Tot.
Beispiel: eine 5 mal 5 matrik hat den aufwand von: 5! berechnungen. Was schon 120 berechnungen sind.
Bei anderen Algorithmen hast du nur O(n³) oder gar besser. Was bei meinem beispiel noch schlechter wäre als laplace. (125 berechnungen) Aber ab einem n von 6 sind algorithmen dieser ordnung wesenltlich besser (216 zu 720) Und ab da gehst eh ins atronomische im vergleich.
Dass einzelne Teile komplett Null werden sind und daher nicht ausgerechnet werden müssen, habe ich auch schon oft gemerkt. Heißt das, man kann auch einfach Zeilen/Spalten vertauschen bevor man den Entwiclungssatz anwendet? Meines Wissens nach muss man dann ja das Vorzeichen verändern.
https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Definition
Hier bei der Definition steht was dazu. Man muss das schacbrettmuster beibehalten.
Und der begriff entwicklung bezieht sich hier schlichtweg nur auf die berechnung der Determinate. Das nennt man einfach so. Ähnlich wie die Berechnungen von 0 Stellen etc. bei funktionen auch Kurvendiskussion genannt werden.
Wenn man sich laplace anschaut ist das ja ein Rekursiver algorithmus. Weil du mit jedem schritt ja noch die determinate der jeweiligen untermatrix n-1 berechnen musst.
Die meisten Unterdeterminanten werden mehrfach benötigt, brauchen aber nur einmal berechnet zu werden. Das verringert den (asymptotischen) Aufwand erheblich, aber bei Weitem nicht unter den Aufwand anderer Verfahren.
Ähm ich hab da bisher immer mit der linken Spalte angefangen und dann mit den darauffolgenden Spalten weitergemacht (abwechselnd addiert und subtrahiert)😳 Und jetzt will man mir auf einmal weismachten, dass es egal ist wo man anfängt?