Sollte das Ergebnis einer Determinante unabhängig von der Auswahl der Spalte sein, nach der man entwickelt?

Das Ergebnis sollte nicht von der Wahl der Spalte abhängen. Wenn, dann hast du dich irgendwo verrrechnet. Mit der Matrix, die du in deinen Kommentaren zu anderen Antworten erwähnt hast, solltest du -23 als Determinante erhalten. Ich habe dir das im Folgenden mal vorgerechnet, indem ich zunächst den Laplaceschen Entwicklungssatz bzgl. der ersten Spalte angewendet habe. (Die Determinanten der 3×3-Matrizen habe ich dann mit Regel von Sarrus berechnet.)

Wenn du uns nicht schreibst, wie dein Rechenweg genau aussieht, kann man dir aber schlecht helfen den/die Fehler zu finden. Aber evtl. findest du ihn ja selbst, wenn du deine Rechnung mit meiner vergleichst.

ja muss ja wohl, oder nicht? Sonst hätte man sich die Entwicklung nach Laplace sparen können... du musst natürlich die Vorzeichen beachten, die wechseln sich innerhalb der Matrix nach fester Regel ab

In einer Determinante gelten Antikommutativgesetz und Assoziativgesetz glaube, auf jeden fall würde sich höchstens das Vorzeichen ändern, was in einigen Bereichen der linearen Algebra jedoch völlig egal ist.

Ja. Sollte es.