Determinanten potenzieren?
Hallo, ich habe eine 4x4 Matrix in der alle Elemente aus fest definierten Reelen Zahlen bestehen. Die Determinante auszurechnen ist kein Problem (also hab auch wirklich echte Zahlen gegeben und keine Buchstaben) aber dann soll ich einmal det(A)^3 und det(A^-2) rechnen. Muss ich bei det(A)^3 wirklich einfach nur die Determinante mit 3 potenzieren? und bei det(A^-2) muss ich dann wahrscheinlich die inverse bilden, diese quadrieren und dann die Determinante ausrechnen oder?
Im Internet finde ich leider ganz wenig zu Determinanten potenzieren...
3 Antworten
Eine Determinante einer Matrix ist ein Skalar - also eine Zahl. Die zu potenzieren ist ja nun kein Hexenwerk. Eine Matrix zu potenzieren ist eine Matrixmultiplikation mit sich selbst - das gibt wieder eine Matrix.
Danke das weiß ich auch. Ich bin mir nur nicht so ganz sicher mit den Rechen-gesetzten, also ob ich die Potenz einfach rausziehen darf etc. Aber Phil093 hat mir das ja freundlicherweise beantwortet :)
Es gilt: det(A·B) = det A · det B:
https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Determinantenproduktsatz
Daher: det(A³) = det(A·A·A) = det(A·A)·det A= det A · det A · det A = (det A)³.
Aber auch: 1 = det(E) = det(A^-2·A²) = det(A^-2)·det(A²) = det(A^-2)·(det A)²
Daher: det(A^-2) = 1/(det A)²
det(A^(-2))=det(A)^(-2)=1/det(A)^2
det(A)^3 = det(A^3)
Super, war mir nicht so ganz sicher mit den Rechen-gesetzten und hab mir schon wieder ein abgerechnet an der Inverse. Vielen dank :)