Linear unabhängige Spalten?
wie finde ich raus, welche Spalten linear unabhängig sind? In dem Fall sollen es Spalte 1 und 3 sein, warum?
5 Antworten
Wenn Du Spalte 1 mit -1 multiplizierst, erhältst Du Spalte 2. Wenn Du Spalte 3 mit -1 multiplizierst, erhältst Du Spalte 4. Also sind die Spalten 1 und 2 sowie die Spalten 3 und vier jeweils linear abhängig. Spalte 3 ist kein Vielfaches von Spalte 1, folglich sind diese linear unabhängig.
Auf der ersten Blick sieht man, dass Spalten 1 und 2 und auch die Spalten 3 und 4 linear abhängig sind. Außerdem ist es offensichtlich, dass die Spalten 2 und 3 nicht linear abhängig sind.
Daraus folgt, dass jede der Spalten 1 und 2 von jeder der Spalten 3 und 4 linear unabhängig ist. Insbesondere auch die Spalte 1 von Spalte 3.
die händische Methode
mit mal -1 von Sp1 zu Sp2 in allen vier Zeilen
mit mal 0 von 1 zu 3 nicht durchgehend ( unabhängig)
mit mal 0 von 1 zu 4 ebenso nicht durchgehend
usw
Das Ergebnis ist eine Zeilenstufenform der Matrix. Der Rang dieser Matrix ist 3, da es 3 nicht-null Zeilen gibt. Da die ursprüngliche Matrix 4 Spalten hat und der Rang 3 beträgt, sind die Spalten 1 und 3 (sowie die dritte Zeile) linear unabhängig, während die Spalte 4 (und die vierte Zeile) eine Linearkombination der Spalten 1 und 3 ist und daher linear abhängig von ihnen ist.
Oh Sorry ;)
Der Rang dieser Matrix ist ebenfalls 4, da es 4 nicht-null Zeilen gibt.
Daher sind alle Spalten dieser Matrix (Spalten 1, 2, 3 und 4) linear unabhängig. Keine Spalte kann als Linearkombination der anderen Spalten ausgedrückt werden. Dies bedeutet, dass jede Spalte in der gegebenen Matrix ein eigenständiger Vektor ist und sie alle linear unabhängig voneinander sind
hatte nochmal drüber gucken lassen. Hatte mich eben vertan. (keine Gewährleistung sind 2 meinungen im raum )
Sorry. War gerade etwas verwirrt und habe mich verrechnet. Das Ergebnis ist die Zeilenstufenform der Matrix. Der Rang dieser Matrix ist 3, da es 3 nicht-null Zeilen gibt.
Daher sind die Spalten 1 und 3 (sowie die erste und dritte Zeile) linear unabhängig, während die Spalte 2 (und die zweite Zeile) eine Linearkombination der Spalten 1 und 3 ist und daher linear abhängig von ihnen ist.
Das korrekte Ergebnis ist, dass die Spalten 1 und 3 linear unabhängig sind, während die Spalte 2 linear abhängig von den Spalten 1 und 3 ist. Nochmals entschuldige ich mich für meinen Fehler in der vorherigen Antwort. Schreib mir mal privat bei interesse. Da kann ich dir besser erklären wie man drauf kommt
Das Ergebnis ist die Zeilenstufenform der Matrix. Der Rang dieser Matrix ist 3, da es 3 nicht-null Zeilen gibt.
Die Matrix ist weder in Zeilenstufenform, noch hat sie genau drei "nicht-null" Zeilen noch hat sie den Rang 3.
Bringe die Matrix durch den Gauß-Algorithmus in Zeilenstufenform. Alle Zeilen, die keine Nullzeilen sind, sind dann linear unabhängig (beachte dabei Zeilentausch).
Die Antwort muss aber nicht unbedingt eindeutig sein.
Wenn du explizit die lineare Unabhängigkeit dieser Zeilen zeigen willst, dann vergleichst du auch einfach nur diese beiden Zeilen. Dass diese linear unabhängig sind ist offensichtlich, da die 1. Zeile Nulleinträge hat, wo in Zeile 3 ein Eintrag ungleich Null steht. Dass die anderen Zeilen zu diesen beiden Zeilen nicht linear unabhängig sind, zeigst du dadurch, dass du diese Zeilen durch eine Linearkombination aus Zeile 1 und 3 darstellst.
und was ist mit spalte2?