Potenzmenge angeben und Ordnungsrelation, könnte mir das jemand erklären?

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Hallo,

bei Aufgabe 4 geht es um Mengen, aus deren Elementen sich Paare bilden lassen, deswegen M x M. Du kennst es von Punkten eines Koordinatensystems, die sich meist aus R x R bilden. Du bildest aus einer reellen Zahl, die die x-Koordinate eines Punktes darstellt und einer zweiten, die die y-Koordinate darstellt, einen Punkt

(x|y), zum Beispiel (2,3|-0,14).

Hier geht es darum, solche Paare aus zwei Elementen zu sortieren, zu ordnen.

Die Sortierung soll der Größe nach geschehen.

Bei Zahlen ist das einfach: Eine Zahl, die weiter links auf dem Zahlenstrahl steht, gilt als kleiner als eine Zahl, die weiter rechts steht: 2<3; -5<-3 usw.

In dieser Aufgabe hat man aus vier Elementen einer Menge M, den Elementen a; b; c und d die beiden Paare (a;b) und (cd) gebildet und fordert, daß sie der Größe nach sortiert werden.

Dabei werden die ersten Zahlen in jedem Paar bevorzugt behandelt:

Wenn a<c, wird (a;b) auf jeden Fall vor (c;d) einsortiert - selbst dann, wenn b größer als d sein sollte.

Ist a aber gleich c, entscheidet bei der Sortierung, ob b kleiner als d bzw. größer als d ist.

Beispiel: (2;4) und (3;1)

Da 2<3, wird (2;4) vor (3;1) einsortiert, obwohl die zweite Zahl des ersten Paares größer ist als die zweite Zahl des zweiten Paares.

Dagegen:

(2;4) und (2;1):

Die beiden ersten Zahlen der Paare sind gleich.

Jetzt kommt es auf die zweiten an, wie sortiert wird:

1<4, daher gilt: (2;1)<(2;4).

Lexikographisch heißt das, weil es wie ein Lexikon funktioniert:

Ganz vorn stehen die Wörter mit A, hinten die mit Z.

Hast Du mehrere Wörter mit A am Anfang, siehst Du auf den zweiten Buchstaben:

'Abfall' kommt vor 'alle', weil b vor l im Alphabet kommt.

Sind die beiden ersten Buchstaben gleich, sieht man sich die dritten an:

Abfall kommt vor Abschaum, weil f vor s kommt.

Das Ganze funktioniert wie eine Kette. Man fängt beim ersten Glied an, sieht, ob es zum Sortieren reicht, ansonsten geht man zum zweiten. Reicht auch das nicht, kommt das dritte an die Reihe usw.

Streng mathematisch kann ich das nicht ausklamüsern, aber vielleicht hilft es Dir, wenn Du es Dir ein wenig bildlich vorstellen kannst.

Um zu zeigen, daß es eine Ordnungsrelation ist, mußt Du die Eigenschaften der Relation auf Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität überprüfen.

Reflexivität bedeutet, daß jedes Element einer Menge in Beziehung zu sich selbst steht.

Bei einer Kleiner-Gleich-Beziehung wie im vorliegenden Fall muß gelten, daß das Element x einer Menge M kleiner oder gleich x ist. So ist zum Beispiel die 5 kleiner oder gleich 5 (gleich), kann also mit sich selbst in bezug auf kleiner oder gleich verglichen werden.

Antisymmetrie bedeutet: Wenn das Element x aus der Menge M kleiner/ gleich ist als das Element y aus der Menge M und gleichzeitig Element y kleiner/ gleich x, kann das nur bedeuten, daß x=y.

Transitivität bedeutet: Wenn Element x kleiner/ gleich y und y kleiner/ gleich z, dann ist auch x kleiner/ gleich z.

Wenn Du zeigen kannst, daß das auch auf die Ordnungsrelation zutrifft, die in der Aufgabe beschrieben ist, hast Du den Nachweis erbracht.

Herzliche Grüße,

Willy

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Sooo, jetzt habe ich endlich meinen eigenen Laptop. Total blöd, dass ich mir noch vor dem Studium schon einen gekauft habe. Aber ab und zu ist das Geld knapper als man denkt =D

Also das habe ich soweit auch verstanden. Bzw. eine Freundin hat sich das von dir angeguckt und so wie ich es dann am Ende hatte war es alles nachvollziehbar xD

Also auf jeden Fall habe ich gemerkt, dass man bei so einem Studium nicht mehr sagen kann, dass man das meiste vom Gelernten sowieso nicht benötigen wird. Hier baut ja quasi echt alles aufeinander auf.

Hoffentlich reichen meine grauen Zellen aus =D

Danke dir für die Erklärung

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@LegoSanDiego

Letztlich ist es auch eine Frage der Einstellung. Wenn Du beereit bist, Dich wirklich hineinzuknien, bekommst Du eine Menge gebacken.

Selbst ein Genie wie Einstein hat eine Weile gebraucht, bis er die Mathematik, die er für die Formulierung seiner Theorien benötigte, beherrschte.

Wenn Du ein hervorragendes und dazu kostenloses Matheprogramm brauchst, sieh Dich mal hier um:

https://mathematikalpha.de

Allein das dazugehörige Lexikon ist ein Hammer.

Das Programm wurde bis vor einigen Jahren noch kostenpflichtig unter dem Namen Winfunktion Mathematik vom bhv Verlag vertrieben. Inzwischen liegen die Rechte wieder bei den Programmierern, die es allen Interessierten kostenlos und als Vollversion zum Download anbieten.

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Also was ich glaube verstanden zu haben ist, dass ∅ ohne Klammern ein Element ist und [∅] mit Klammern eine Menge.

∅ ist die leere Menge. Mit einem Element hat das an sich erstmal nichts zu tun. ∅ schreibt man auch: { }. Mit anderen Worten, es ist die Menge, die kein Element besitzt: Alle Elemente sind nicht Element (∉) dieser Menge.

{∅} ist dagegen die Menge, die die leere Menge enthält. So wie {1} die 1 enthält und {1, 2, ∅} die 1, die 2 und die leere Menge, existiert eben nur die leere Menge, die von {∅} beinhaltet (∋) wird.

Die eckigen Klammern haben übrigens eine andere Bedeutung, geschweifte Klammern machst du mit Strg + Alt + 7 und Strg + Alt + 0!

𝒫(M) ist nur eine Notation für die Potenzmenge von M, wobei M eine Menge sein muss. Die Definition der Potenzmenge kennst du ja sicherlich: Sie beinhaltet alle Teilmengen von M. Für endliche Mengen M kannst du die ganz einfach wie folgt ermitteln:

gesucht: 𝒫({1, 2, 3})

1∈S     2∈S     3∈S        S
 0       0       0         { }
 0       0       1         {3}
 0       1       0         {2}
 0       1       1         {2, 3}
 1       0       0         {1}
 1       0       1         {1, 3}
 1       1       0         {1, 2}
 1       1       1         {1, 2, 3}

In der Tabelle werden links einfach alle Binärzahlen von 0 bis 2 hoch Kardinalität der Menge hochgezählt und dann ziffernsweise als Wahrheitswerte dafür interpretiert, ob das Element an der jeweiligen Stelle Element der aktuellen Teilmenge S ist. Es lohnt sich, das zu verstehen - so vergisst du todsicher nie, eine Teilmenge anzugeben!

Da die Potenzmenge einer Menge wiederum eine Menge ist, kann man auch von ihr wieder eine Potenzmenge bilden, also die Potenzmenge einer Potenzmenge. Manche schreiben das dann auch 𝒫(M), 𝒫²(M), 𝒫³(M) usw. Das Vorgehen ist das gleiche.

Es ist eigentlich ganz einfach, du darfst nur nicht Mengen und Elemente durcheinanderbringen.

∅ ≠ {∅} ≠ {{∅}} !

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Abi 1,0

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