Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Q-Vektoräume?
Aufgabe: Welche der folgenden Mengen sind Untervektorraeume
der angegebenen Q-Vektoraeume?
W3 = {f ∈ QN | f(n + 2) = f(n + 1) + f(n) fuer alle n ∈ N} ⊆ QN
Problem/Ansatz:
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, weil ich nicht weiß wie man die drei Bedingungen für einen Untervektorraum also 0∈W3 , f,g ∈ W3 => f+g ∈ W3 und λ*f ∈ W3 auf diesen Fall anwendet. Kann mir wer behilflich sein ?
Mein Ansatz ist:
für (1) 0∈W3
Da f∈Q N existiert ein n∈N : f(n+2) =0 => 0v∈W3
(2) Sein f,g ∈ W3 => f+g ∈ W3
zz. f(n+2) +g(n+2) = f(n+1) + f(n) + g(n+1) + g(n)
f(n+2) - f(n+1) - f(n) = 0 und g(n+2) - g(n+1) - g(n) = 0
=>wenn man die zz. Gleichung umstellt 0+0= 0 w.a.
Ich bin mir aber fast sicher dass das falsch ist von daher lass ich mal meine (3) weg. Falls wer einen guten Tipp hat mit dem ich die Aufgabe gelöst bekomme gerne her damit :D.
Danke schonmal.
1 Antwort
Hier musst du zeigen, dass die Nullabbildung in der Menge liegt. Die Nullabbildung ist genau das, was man sich darunter vorstellt: f(x)=0 für alle x aus dem Definitionsbereich von f.
Die Frage ist also: Gilt f(n+2)=f(n+1)+f(n) für die Nullabbildung? Wenn ja, dann ist 0∈W3.
Zu 2)Das, was du als "zu zeigen" betitelt hast, ist eigentlich der Beweis. Zu zeigen ist per Definition erst einmal nur, dass wenn f und g in der Menge liegen, auch f+g in der Menge liegt. Also:
Gilt (f+g)(n+2) = (f+g)(n+1) + (f+g)(n) ?
Das, was du da schon stehen hattest, ist dann der Beweis, es fehlen nur ein paar Schritte. Anfangs musst du bspw. (f+g)(n+2) auseinander ziehen, um f(n+2)+g(n+2) zu erhalten. Jetzt weißt du ja, dass f und g in der Menge liegen, also kann man f(n+2) und g(n+2) entsprechend umschreiben. Am Ende zieht man die Funktionen dann wieder zusammen, um die rechte Seite der Gleichung zu erhalten.
Zu 3)Hier ist nun für ein beliebiges k aus Q und f aus der Menge zu zeigen, dass
(k*f)(n+2)=(k*f)(n+1)+(k*f)(n)
gilt. Hierzu kannst du nun wieder links die Klammern auseinander ziehen und versuchen, auf die rechte Seite der Gleichung zu kommen.
wie schließt du bei 2) nachdem du (f+g)(n+2) auseinander gezogen hast darauf das g und f in der Menge liegen?
Wir wissen, wie die Nullabbildung funktioniert. Es ist quasi f(x)=0. f(n+2), f(n+1) und f(n) sind somit allesamt 0.
wenn jetzt hinten noch eine +1 dran stehen würde wäre 0 kein Element aus W richtig ?
Genau. Dann hätte man ja 0=0+0+1 da stehen, und das wäre eben eine falsche Aussage.
Und noch zu (1), wie kann man jetzt beweisen das f(n+2)=f(n+1)+f(n) für die Nullabbildung gilt ?
Wir kennen ja die Funktionsgleichung nicht, wir wissen bloß das f∈Q^N ist, ist das Beweis genug ?