Folgerungen, Äquivalenzen: Was genau mache ich bei diesen beiden Mathematik-Aufgaben falsch?
Hier die beiden Aufgaben:
Hier verstehe ich nicht ganz, wie ich die Regel mit der Folgerung anwenden soll.
Und wo ist hier der Fehler?
Ok, bei der Aufgabe mit der Folgerung (A --> B), muss wohl (A <--> B also A --> B --> A) gelten, damit sie äquivalent ist... Oder irgendwie so. Und da dann nur die Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division bei einer Äquivalenzumformung erlaubt sind, kann nur die dritte Lösung stimmen, da nur dort die Gleichung mittels einer dieser zulässigen Operationen "verändert" (im weitesten Sinne) wird. Bei den anderen Lösungen gilt zwar A --> B aber nicht B --> A... aber warum nicht? kann ich nicht zB das machen:
x + 1 = 0 | *6x
6x*(x+1) = 0
6x^2 + 6x = 0
???
3 Antworten
Aus 6 x² + 6 x = 0 folgt nicht, dass x+1=0 !
Gegenbeispiel: x=0
Umgekehrt folgt aus x+1=0 dass 6x² + 6x = 0
Es müsste heißen: aus allen drei Aussagen folgt 6x² + 6 x = 0
Nur die letzte Aussage ist äquivalent (da kann man in beiden Richtungen folgern)
Bei der zweiten Aufgabe gehört Zeile 1 noch mit dazu.
A -> B bedeutet aus A folgt B, also wenn A gilt, muss zwingend auch B gelten (immer, nicht in einem oder mehreren Spezialfällen) .
Aus 6 x² + 6x = 0 kann man aber nicht schließen, dass dann x+1=0 gilt. Setzt man x=0, dann gilt 6x² + 6x = 0 aber nicht x+1=0. Da haben sich die Musterlöser bei der Erklärung vertan.
Das werde ich denen auf jeden Fall mal als Feedback geben (anonym natürlich).
Ah, ich denke, ich verstehe, wie du es meinst, und habe jetzt auch einen Plan, wie man da vorgeht: Also, wenn man überprüfen will, ob für A --> B gilt, setzt man bei A einen Wert für x ein, der die Gleichung (in unserem Fall auf beiden Seiten) 0 werden lässt und wenn derselbe Wert auch in B die Gleichung 0 werden lässt, dann gilt A --> B. Und wenn man auch B --> A mit diesem Verfahren nachweisen kann, gilt A <--> B. Hoffe, das du das so gemeint hast.
Die Lösung ist richtig (nur die dritte Zeile ist äquivalent), nur die Erklärung (aus ... folgen allen drei Aussagen) ist falsch.
Der Plan wird nicht funktionieren ;-) Denn setzt du x=-1 ist sowohl A als auch B richtig.
Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben.
6x² + 6x = 0 hat zwei Lösungen. Eine Gleichung mit nur einer Lösung kann dann nicht äquivalent sein.
Wenn man, indem man durch 6x teilt, aus 6x² + 6x= 0 die Gleichung x+1=0 macht, hat man eine Lösung verloren. Ich sage immer "durch 0 darf man nicht teilen, dann explodiert die Welt" Und wenn du durch 6x teilst, musst du ausschließen, dass x vielleicht 0 sein könnte.
Was ist denn das für ein Test, den du da machst? Selbsttest Mathe vor dem Studium?
https://www.ombplus.de/ombplus/link/Start
Wurde uns von der Hochschule (als eine Möglichkeit) als vorbereitender Kurs für Hochschul-Mathe empfohlen. Ich habe mich seit über 10 nicht mit Mathe beschäftigt und war auch damals nicht so gut (aus Faulheit)... Jetzt bleibe ich aber dran >:-()
"Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben."
Das ist ein sehr hilfreicher Tipp!
Zur zweiten Aufgabe: Aber da steht doch einmal Minus und beim anderen ein Plus vor der 10... Verstehe ich nicht.
1x - 6 = 10 x + 3 <=> (1-10)x = 6+3 <=> x=(6+3)/(1-10) <=> x= -1
Aus der ersten Zeile kann man die dritte Zeile erzeugen, indem man +6 und -10x rechnet und anschließend links x ausklammert.
Und da dann nur die Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division bei einer Äquivalenzumformung erlaubt sind,
Hier muss man ein bisschen vorsichtig sein: Erstens kann es weitere Äquivalenzumformungen geben (aber darum brauchen wir uns gerade nicht zu kümmern) und zweitens sind Multiplikation und Division so eine Sache, wie wir in diesem Beispiel sehen:
x + 1 = 0 | *6x
Hier machst du eine Umformung durch Multiplikation. In den meisten Fällen ist das auch eine Äquivalenzumformung, aber wenn du zufälligerweise mit 0 multiplizierst, steht da plötzlich als Gleichung:
0 = 0.
Aber die Gleichung 0 = 0 ist offenbar nicht äquivalent zu x + 1 = 0, denn die erste ist für jedes mögliche x erfüllt, die zweite aber nur für x = -1 (siehe Schachpapas Aussage, dass äquivalente Gleichungen identische Lösungsmengen haben).
Das heißt, wenn 6x = 0 ist, ist Multiplikation mit 6x eben keine Äquivalenzumformung. Und da 6x = 0 möglich ist (nämlich für x = 0), musst du hier aufpassen, dass du die Originalgleichung nicht durch deine Umformung verfälschst.
Ja, in dem Skript zu dem Kurs, den ich mache, steht auch explizit: Die Bedingung für eine Äquivalenzumformung ist, dass der Faktor bzw der Nenner nicht 0 sein dürfen... Dass man nicht durch 0 teilt, hat sich bei mir natürlich ins Hirn gebrannt...
Ich habe die dazugehörigen Aufgaben jetzt richtig lösen können, indem ich einfach alle Lösungsmengen bestimmt und verglichen habe, wie von Schachpapa erklärt.
Wenn du dir merken kannst, dass Division durch 0 nicht erlaubt ist, hast du schon halb gewonnen ;)
Multiplikation mit 0 ist zwar "erlaubt", aber es ist i.A. keine Äquivalenzumformung, weil man Äquivalenzumformungen auch rückgängig machen können muss. Aber um Multiplikation mit 0 rückgängig zu machen, müsste man ja durch 0 teilen können ;)
Ja hin und Rückrichtung müssen stimmen.
Ok, aber gibt es da eine Technik, wie ich das überprüfen kann? Bzw, welche Gedankengänge führen dich zu dieser Lösung? Um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht ganz, wieso in deinem Beispiel x+1=0 --> 6x² + 6x = 0 aber nicht 6 x² + 6 x = 0 --> x+1=0 gilt. Ich kann dir leider nicht folgen (was jetzt einfach nur an meinem mangelnden Verständnis liegt) :-(