Mathematik - statt Äquivalenz eine Folgerung?

1 Antwort

Nimm die Gleichung wurzel(x-1) + 3 = 0

=> wurzel(x-1) = -3    / jetzt beide Seiten hoch 2

=> (x-1) = 9

=> x = 10.

Machen wir die Probe:

wurzel(x-1) + 3 = wurzel(10-1) + 3 = wurzel(9) + 3 = 3 + 3 = 6,

und dies ist nicht 0.

Was ist schiefgegangen?

Die Implikation "=>" besagt lediglich,

dass aus der Gleichung wurzel(x-1) + 3 = 0 die Beziehung x = 10 folgt.

Damit weißt du aber nur folgendes: Wenn es überhaupt eine Lösung gibt, dann ist es x = 10. Man sieht aber, dass dieses Argument nicht hinreichend ist. Dir bleibt also bei Implikationen "=>" nur die Möglichkeit, die in Frage kommenden Lösungen nachher durchzutesten.

Warum klappt das aber bei sonstigen "einfachen" Gleichungen.

Hier sind alle Umformungen vorwärts wie rückwärts gültig, zum Beispiel

2x + 3 = 4

<=> 2x = 1

<=> x = 0,5

Hier ist (genau wie oben) 0,5 die einzig in Frage kommende Lösung, da die Kette aber auch rückwärts gilt, spart man sich hier die Probe. Das Problem oben ist, wie du sicherlich erkannt hast, das Quadrieren, welches eben keine Äquivalenzumformung ist, aus x = a folgt x^2 = a^2 aber nicht umgekehrt.

Du siehst, dass "=>" und "<=>" nicht das gleiche ist.

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