Klassenbegriff Mathematik Mengenlehre, Beispiel benötigt?
Hallo,
Könnte mir jemand ein Beispiel für dort unten für diese formale Darstellung geben? Ich verstehe die Zeichen, aber kann mir daraus kein alltägliches Beispiel rekonstruieren oder irgend ein banales Beispiel.
Ist dieses a jetzt eine Eigenschaft oder habe ich da was falsch verstanden?
4 Antworten
Mengen waren so schön einfach und praktisch, bis Bertrand Russell 1903 mit seiner Antinomie die ganze Mathematik erschütterte.
Von den vielen Ansätzen, dieses Problem zu beseitigen, hat sich die axiomatische Mengenlehre letztendlich durchgesetzt. Wenn Du in Mathematik promoviert hast und noch mehr willst, kannst Du Dich damit intensiver beschäftigen. Andernfalls wirst Du höchstens erahnen, worum es geht:
Mengenlehre ist wirklich grundlegend. Lass zuerst die Vorstellung sausen, dass eine Menge aus irgendwelchen konkreten Elementen besteht. Zahlen, Funktionen & Co. gibt es hier noch nicht, da diese Begriffe erst mithilfe der Mengenlehre definiert werden können. Stattdessen gibt es nichts, aber das reicht, um die leere Menge zu definieren. Und damit hat man doch schon etwas :-)
Ganz grob sehen die Axiome so aus:
- Die leere Menge ist eine Menge.
- Ist a eine Menge, dann ist {a} eine Menge, die nur a enthält.
- Die Vereinigung zweier Mengen ist eine Menge.
- Der Schnitt zweier Mengen ist eine Menge.
- ...
Das Ziel ist, nur solche Mengen zuzulassen, die keine Widersprüche produzieren. Mit den Axiomen kann man für jedes Konstrukt der Form
- M = { x | x ist eine Menge ∧ Aussage(x) }
prüfen, ob M eine Menge ist.
Die größte Schwierigkeit besteht in der exakten Formulierung. Streng genommen darf ich mit M nichts machen, denn wenn M keine Menge ist, sind widersprüchliche Folgerungen möglich − einschließlich einem „Beweis“, dass M eine Menge ist.
Um überhaupt arbeiten zu können, führt man Klassen ein. Das sind Objekte, die Mengen enthalten, selbst aber nicht zwingend eine Menge sind. Das einzige, was man dazu braucht, ist ein eindeutiger Element-Operator ∈.
Dein zitierter Artikel fällt hier mit der Tür ins Haus, da er Klassen undefiniert lässt und sofort mit der Definition „x ist eine Menge, wenn x in irgendeiner Klasse a enthalten ist“ beginnt. Da Klassen immer nur Mengen enthalten, ist das eigentlich trivial − sobald man gefressen hat, dass eine Menge nicht naiv dadurch definiert wird, dass sie Elemente enthält, sondern dadurch, dass sie selbst in dem großen Topf enthalten ist, der durch die Mengenaxiome definiert ist.
Allerdings verführt diese unvollständige Definition zu folgendem Fehlschluss:
- Jedes x ist in der Klasse a={x} enthalten ⇒ jedes x ist eine Menge.
Dieser Denkfehler klärt sich erst einige Seiten später mit Definition 1.2.14 (Einerklasse). Sobald Du wirklich verstanden hast, warum eine Einerklasse genau so und nicht anders definiert wird, bist Du in der Materie drin. Das kann aber eine Weile dauern. Vielen Mathematikern platzt da der Kopf :-/
Mengenlehre ist eines der komplexesten Teilgebiete der Mathematik. Es hat schon seinen Grund, dass sie für viele (zum Beispiel für mich) im Studium lediglich in der naiven Form vorkommt. Du wirst dich zunächst mit dieser sehr abstrakten Definition zufrieden geben müssen und lernen müssen damit umzugehen. Ganz grob steht da das eine Klasse dann eine Menge bildet, wenn es ein a gibt in das sie gehört. Gerade bei Mengenlehre scheinen viele Definitionen zunächst trivial. Alle realen Beispiele die man dir hier geben kann treffen nicht den Kern der Definition, gerade weil sie so trivial erscheint. Wichtig werden diese Definitionen weil damit nicht nur das "vorstellbare", also meist "abzähbare", sondern auch das transfinitie, also unendliche und überabzählbare erschlagen werden kann.
Ich habe mir deine Fragen mal durch gelesen. Du hüpfst von einem Thema zum anderen und scheiterst bereits bei den Einstiegsbegriffen. Was genau hast du damit vor? Das was du dir gerade ausgesucht hast ist wie gesagt eines der komplexesten Themen überhaupt, ohne eine sehr gute Kenntnis der mathematischen Sprache wirst du da nie vorwärts kommen.
a ist keine Eigenschaft, sondern eine Klasse. Was da steht ist einfach nur:
x ist genau dann eine Menge, wenn es eine Klasse a gibt, sodass x ein Element von a ist.
Oder kürzer:
x ist genau dann eine Menge, wenn x als Element irgendeiner Klasse auftritt.
Oft werden solche Texte erst beim Weiterlesen klar. Wie geht es denn weiter? Die Überschrift erwähnt noch die Unmenge . Das ist dann ja vermutlich das Gegenteil
Erstmal so hinnehmen . Vgl Antwort von DerRoll. Wenn man sich immer etwas vorzustellen versucht , setzen sich oft falsche bzw. eingeschränkte Vorstellungen fest.
Danke,
hier kann man sehen, wie es weitergeht. Es werden dann andere Themen angesprochen.
1.2 Klassen und Mengen - PDF Free Download (docplayer.org)
Trotzdem verstehe ich es nicht, da ich mir das nicht im Kopf vorstellen kann. Ich brauche Beispiele.