Mengengleichheit beweisen?

Habe schon etwas rumprobiert, kann die Gleichheit aber nicht beweisen.

Danke

Answer 1

[LUKEars]

zu (8.1.a): Gegenbeispiel:

$M=X_1=X_2=\{1\}, N=\{1,2\}$ $f(M)=\{1\}$ $N\setminus f(\{1\})=\{2\}\neq f(\emptyset)\cup f(\emptyset)=\emptyset$

oder?

zu (8.1.b): Beweis: da f(m) entweder in Y oder nicht in Y ist, gilt: $f^{-1}(N\setminus Y)=\{m:m\in M\wedge f(m)\in N\setminus Y\}=$ $=\{m:m\in M\wedge f(m)\notin Y\}=$ $M\setminus f^{-1}(Y)$ oder?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Jangler13]

Genau, sobald die Funktion nicht surjektiv ist, kann die Aussage nicht wahr sein.

Answer 2

[nobytree2]

a) ich würde links N durch f(M) ersetzen

f(M) \ f(x1 und x2) = f(M\x1) oder f(M\x2)

Das sieht ja mal nach de Morgan aus.

Annahme f(X1 und X2) = f(X1) und f(X2). Beweis f(X1 und fX2) --> f(X1) und f(X2). Sei x elem (X1 und X2), f(x) elem f(X1 und X2), dann auch f(x) elem (f(X1) und f(X2)). Sei z nicht elem (X1 und X2), dann f(z) nicht elem f(X1 und X) und auch nicht elem (f(X1) und f(X2)).

also f(M) \ (f(X1) und f(X2))

wir können das natürlich umstellen mit

f(M) und nicht (f(X1) und f(X2)) = f(M) und (nicht f(X1) oder nicht f(X2))

und die rechte Seite folgt aus der Ausklammerung.

Comments

[Jangler13]

ich würde links N durch f(M) ersetzen

da f nicht unbedingt surjektiv ist, kann man das nicht machen.

Und für nicht surjektive Funktionen gilt Aussage (a) nicht. (Die linke Seite enthäkt mindestens ein Element, welches nicht in der rechten Seite existieren kann)