Was ist die Mächtigkeit/kardinalität in Mathe?
3 Antworten
Man nimmt die Mengen A_n:
und außerdem die natürlichen Zahlen N und deren Potenzmenge P(N)
Man definiert die Kardinalität über eine Äquivalenzrelation ~, seien A und B Mengen:
A ~ B <=> Es existiert eine Bijektion A -> B
Man sagt:
|A| = n, wenn A ~ A_n
|A| = unendlich, wenn A ~ N oder A ~ P(N)
A ist abzählbar, wenn für ein n A ~ A_n oder A ~ N
A ist überabzählbar, wenn A ~ P(N)
Bei endlichen Mengen ist es einfach die Anzahl der Elemente, bei unendlichen Mengen wird es etwas kompliziert, da unendlich nicht gleich unendlich ist.
Das beinhaltet aber doch schon in der Mengenbegriff, oder?
Aber es schadet natürlich nicht, das nochmal explizit zu betonen ;-)
Natürlich beinhaltet der das. Aber weiß das jeder, der hier fragt?
weiß das jeder
vermutlich nicht. Manche begegnen der mathematischen Menge zum ersten Mal an der Uni. Und wundern sich dann, dass "Anzahl" etwas anderes sein soll.
Die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge.
Bsp.: Man nehme die Menge A, in der alle natürlichen Zahlen von 5 bis 10 sind.
Die Mächtigkeit ist 6.
Wobei doppelte und mehrfache Elemente nur einfach gezählt werden.
Die Menge {1;2;2;4;5;5;5;7} hat nicht etwa die Mächtigkeit 8, sondern die Mächtigkeit 5, weil sie nur 5 unterschiedliche Elemente enthält.