Was ist Kardinalität (Mathe)?
Gerne mit Beispiel
3 Antworten
Die
https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4chtigkeit_(Mathematik)
ist eine Maßzahl für die "Größe" von Mengen. Im Mittelpunkt steht der Begriff der bijektiven Abbildung zwischen zwei Mengen A und B, also einer Abbildung f für die folgendes gilt:
Für alle x, y € A mit x <> y gilt f(x) <> f(y) und
für alle q € B existiert ein r € A mit f(r) = q
Gibt es eine solche Abbildung zwischen A und B, so heißen A und B gleich mächtig.
Endliche Mengen A und B sind genau dann gleich mächtig wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben. Interessant wird der Begriff der Mächtigkeit also erst wenn die Mengen unendlich sind. So kann man z.B. zeigen, dass die Mengen N der natürlichen, Z der ganzen und Q der rationalen Zahlen gleich mächtig sind, ebenso Q vereinigt mit der Menge aller ganzzahligen Wurzeln aus natürlichen Zahlen. Diesen Mengen wird die Mächtigkeit (Kardinalzahl) Aleph0 zugeordnet.
R hingegen ist mächtiger als N. Man kann beweisen, dass es keine bijektive Abbildung zwischen R und N geben kann. R wird die Mächtigkeit Aleph1 zugeordnet. Eine einfache Verallgemeinerung des zweiten Cantor'schen Diagonalarguments liefert den Beweis, dass es keine bijektive Abbildung zwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge geben kann. Die Potenzmenge einer Menge ist also immer mächtiger als die Menge selbst und kreiert damit eine neue Kardinalzahl, die im Sinne einer zu definierenden Ordnungsrelation "größer" ist als die der Ursprungsmenge.
Hört sich an wie rechnen für Geistliche.
Oh, Mathematik verträgt einiges an Spaß, z.B.
https://www.amazon.de/Humor-Mathematik-Friedrich-Wille/dp/3525407300
Nur dann nicht wenn man andere Nutze, die zu einem durchaus komplizierten Thema eine Frage stellen vollständig verwirrt.
Hallo,
Kardinalität ist simpel gesagt die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge A.
Diese heisst dann die Kardinalzahl von A.
Unsinn.