Kardinalität der Vereinigung zweier Mengen X und Y?

Hallo :)

Ich habe eine Aufgabe bekommen die heißt

“Wie berechnet man die Kardinalität der Vereinigung V zweier Mengen X und Y?”

und weiß nicht genau was ich damit anfangen soll, kann mir da jemand helfen?

Answer 1

[LORDderANALYSE]

Da die Kardinalität nichts weiter ist als „die Anzahl der Elemente einer Menge", kannst du einfach die Elemente der Vereinigungsmenge durchzählen (endlichen nur bei einer endlichen Anzahl an Elementen), doch dabei solltest du darauf achten, dass du alle Elemente die doppelt vorkommen eben nur einmal zählst (schließlich spielt die Häufigkeit des selben Elements in einer Menge in den meisten Axiomsystemen keine Rolle).

Beispiel:

$\left\{1,2,3\right\}\cup\left\{3,4,5\right\}=\left\{1,2,3,3,4,5\right\}=\left\{1,2,3,4,5\right\}$

Es gibt das Element "1", "2", "3", "4" und "5", was zusammen 5 Elemente macht, also ist die Kardinalität der Vereinigungsmenge 5!

Du kannst alternativ auch die Elemente der zu vereinigen Mengen abzählen und zusammenaddieren und dann für jedes Element das beide Mengen hatten 1 (die Kardinalität der Schnittmenge) abziehst.

Beispiel:

$\left\{a,b,c\right\}\cup\left\{b,c,d\right\}=\left\{a,b,b,c,c,d\right\}=\left\{a,b,c,d\right\}$

Wir haben einmal die Elemente "a", "b" und "c", was 3 Elemente sind, und "b", "c" und "d", was auch 3 Elemente sind (zusammen also 3 + 3 = 6). Sie teilen sich zwei mal das gleiche Element (bzw. die Schnittmenge ist {b, c}, was einer Kardinalität von 2 entspricht), also ist die Kardinalität der Vereinigungsmenge 6 - 2 = 4!

Solltest du unendliche viele Elemente haben, musst du die transfinite Arithmetik nutzen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Jockelii7500]

Vielen vielen Dank für die wahnsinnig ausführliche Antwort, das hat auf jeden Fall meine Frage beantwortet, ich hätte nie gedacht dass die Antwort so simple ist.