Welche Funktion hat die Ableitung f‘(x)= cox(x) und erfüllt die Bedingung 0 kleiner gleich f(x) kleiner gleich 2 für alle x element aus Reelle Zahlen?
Man sollte eine Termdarstellung angeben.
ich hab erstmal intergriert und bei mir kam f(x)= sinx + c heraus aber ich weiß nicht was ich danach machen soll also wie ich c berechne
3 Antworten
Gesucht ist eine Funktion, die folgende Eigenschaften hat:
- f'(x) = cos(x)
- f(x) ≥ 0
Und das für jede reelle Zahl x.
Wenn wir wissen, dass die Ableitungsfunktion die Kosinusfunktion ist, können wir mit dem Integral die Stammfunktion - also f(x) - berechnen. Das hat du richtig gemacht. Wir erhalten
f(x) = sin(x) + c
wobei c irgendeine konstante Zahl ist.
Nun müssen wir noch die zweite Bedingung erfüllen, nämlich dass f(x) nichtnegativ ist.
Aus f(x) ≥ 0 folgt, da wir f(x) = sin(x) +c berechnet haben, einfach
sin(x) + c ≥ 0.
Das muss für alle reellen x der Fall sein.
Wenn wir wissen, was der kleinstmögliche Wert ist, den der Sinus annhemen kann, können wir unser c bestimmen.
Wenn wir uns den Graphen anssehen, sehen wir, dass der kleinstmögliche Wert –1 ist.
Für unsere Ungleichung bedeutet es, dass c größer oder gleich Eins sein muss. Denn schauen wir uns nochmal die Ungleichung an und ziehen das c rüber
sin(x) ≥ –c
sehen wir, dass für den kleinstmöglichen Wert, also
–1 ≥ –c
die Ungleichung nur dann erfüllt ist, wenn
c ≥ 1
gilt. Wir nehmen jetzt einfach c = 1 an.
Unsere Funktion ist also gelöst. Sie lautet
f(x) = sin(x) + 1.
Bitteschön :)
Der Ansatz ist schonmal korrekt! Du weißt nun, dass c so gewählt werden muss, daaa sin(x) + c <= 2 für alle x in R gilt. Du kannst dir nun überlegen, wie groß sin(x) maximal werden kann für x in R. Das setzt du dann ein und erhältst eine Ungleichung für c. Gleiches für sin(x) + c >= 0. Dann suchst du die einen Wert für c aus, der beide Ungleichungen erfüllt.
sin(x) hat ausschließlich Werte zwischen -1 und 1. Vielleicht hilft dir das ja weiter.
Welche Werte kann denn sin(x) annehmen? Und um welchen Wert musst du das verschieben, um auf die Bedingungen der Aufgabenstellung zu kommen?
Ich verstehe nicht wie ich c berechne muss ich einfach bei sinus 0 einsetzen damit ich auf c kommt oder wie geht das
Ich versteh leider nicht was du meinst. Meinst du, dass ich irgendwelche werte für sinus einsetzen soll um auf maximal 2 zu kommen? Ich versteh nicht wie ich das berechne :(