Maximales Produkt (Mathe)?
Hallo, bei folgender Fragenstellung bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtige gemacht habe:
"Für welche reelle Zahl x ist das Produkt (x^2+1)(x-3) maximal?"
Ich habe zuerst die 1. Ableitung davon gebildet, diese dann gleich 0 gesetzt, um die Nullstellen herauszukriegen. Dann die NS in die 2. Ableitung eingesetzt und somit herausgefunden, dass es (beide?) Hochpunkte sind. Somit hab ich für x (-4) und (-3.125) bekommen. Dann wäre (-4) ja das Maximum für x, ist das richtig so?
Vielen Dank im Vorraus und lg
4 Antworten
Du hast die Nullstellen der ersten Ableitung korrekt ermittelt. Nun ist es wichtig zu prüfen, ob die kritischen Punkte Hoch- oder Tiefpunkte sind. Setze die Werte (-4) und (-3.125) in die zweite Ableitung ein. Falls beide Ergebnisse positiv sind, handelt es sich um einen Hochpunkt, und somit ist deine Schlussfolgerung, dass x=(-4) das Maximum ist, korrekt.
Bei x=-4 bekommst Du aber keineswegs das maximale Produkt.
Abgesehen davon, daß Du da eine negative Zahl bekommst, wird das Produkt für x=1000 wesentlich höher, für x= 10000 noch höher usw. Das Produkt geht für x gegen unendlich ebenfalls gegen unendlich, so daß sich überhaupt kein Produkt finden läßt, das sich nicht übertreffen ließe.
Die Nullstellen sind falsch. Wahrscheinlich wurde schon die Ableitung falsch berechnet.
Meinst du meine oder die von gehsjs? Also meine stammt aus meinem Hirn, aber hab den Fehler nun gesehen.
Wie auch immer, heisst das jetzt aber, dass es für x eh keinen genauen Wert gibt, also wäre die Lösung unendlich? Das hab ich mir nämlich auch kurz überlegt, aber dachte dass könnte eh nicht sein, alleine schon weil die Aufgabe 4 Punkte gibt...😅
Ja. Je höher der Wert für x, desto größer das Produkt. Einen Maximalwert kann es nicht geben, weil die Funktion immer weiter bis zum Gehtnichtmehr ansteigt.
Eine Polynomfunktion dritten Grades kann nicht zwei Hochpunkte haben. Ich wüsste nicht, wie ich es mir bildhaft vorstellen soll. Es gibt entweder einen Hoch- und einen Tiefpunkt oder einen Sattelpunkt.
Das heißt, du wirst dich verrechnet haben.
f'(x) = 2x(x-3) + (x²+1) = 3x² - 6x + 1
f''(x) = 6x -6
f'(x) = 0
0 = 3x² - 6x + 1
0 = x² - 2x + 1/3
x1,2 = 1 +/- Wurzel(2/3)
x1 ~ 1,8, x2 ~ 0,2
f''(1,8) = 10,8-6 = 4,8 > 0 => Tiefpunkt
f''(0,2) = 1,2-6 = -4,8 < 0 => Hochpunkt
(davon ausgehend, dass die Wurzelabschätzung das Ergebnis nicht verfälscht.)
Habs nochmals durchgerechnet und bin jetzt zu gleichen Ergebnis wie du gekommen. Dann ist das Maximum jetzt bei 0,2 richtig?.
Richtig. Ist aber wie gesagt nur ein lokales Maximum und nicht das höchsterreichbare Produkt.
Hallo,
wenn Du da ein Maximum findest, ist es ein lokales Maximum.
Das Produkt insgesamt geht gegen unendlich. Es gibt also kein x, für das Du das größtmögliche Produkt bekommst.
Bei Extremwertaufgaben mußt Du auch immer die Ränder beachten.
Abgesehen davon hast Du die Nullstellen der ersten Ableitung falsch berechnet.
Die Ableitung lautet f'(x)=3x²-6x+1 und die Nullstellen davon sind sicher nicht x=-4 oder x=-3,125.
Herzliche Grüße,
Willy
Falls es Dich interessiert: Die Funktion hat ein lokales Maximum bei
x=1-Wurzel (2/3) und ein lokales Minimum bei 1+Wurzel (2/3). Nach dem lokalen Minimum ist sie streng monoton steigend und geht gegen unendlich.
Guter Hinweis mit dem Unendlichkeitsverhalten.
Manchmal ist man so fixiert auf die Anwendung von erlernten Rechenmethoden, dass man den Blick auf das Ganze verliert.
Das liegt zum Teil auch am Mathematikunterricht, der sich auf das Anwenden von auswendig gelernten Formeln reduziert. So ist es dann kein Wunder, wenn
Schüler die Gleichung x²=9 mit der pq-Formel lösen, weil das x² so eine Art Pawlowschen Reflex auslöst.
Danke für die Antwort! Du hast recht, ich hatte die Ableitung schon falsch, hab aus x^3 2x^2 anstatt 3x^2 gemacht... somit stimmt der Rest dann natürlich auch nicht.
Darf ich noch fragen, was du mit "Ränder betrachten" meinst?
lg
So ein berechnetes Maximum ist nur ein Gipfel in einer Gebirgslandschaft. Dieser Gipfel muß aber nicht der höchste sein. Der Nanga Parbat zum Beispiel im Himalaya ist zwar ein sehr hoher Berg, aber nicht der höchste.
Auch der höchste Gipfel in der Funktionenlandschaft muß nicht automatisch den höchsten Wert ergeben. Wenn eine Funktion wie die vorliegende gegen unendlich geht, gibt es zwar keiin Maximum mehr, denn nach einem Maximum geht's wieder bergab, aber die Werte steigen immer weiter an ohne aufzuhören.
Suchst Du innerhalb eines Intervalls nach Maxima und Minima, mußt Du prüfen, ob nicht die Werte am Rand des Intervalls die Werte des Extremums übersteigen. Hier läge der 'Rand' bei x gegen unendlich. Dort findest Du natürlich wesentlich höhere Werte bei dieser Funktion.
Bei dieser Aufgabe muss man beachten, dass eine Nullstelle der ersten Ableitung nur einen lokalen Extremwert bestimmt, jedoch keinen absoluten.
So falsch wie diese Antwort ist, riecht das stark nach ChatGPT.