Ich verstehe es nicht ganz?
Forscher haben das Wachstum einer bestimmten Bakterienkultur in einer Petrischale beobachtet. Die von Bakterien bedeckte Fläche (in cm2) in Abhängigkeit der vergangenen Zeit (in h) seit dem Beobachtungsbeginn um 8 Uhr morgens kann im Zeitraum von 8 Uhr morgens bis 12 Uhr mittags des darauf folgenden Tages näherungsweise durch die Funktion A mit
A(t) = -0,005t3+0,2t2+0,9t+1 beschrieben werden.
a)Bestimmen Sie die von Bakterien bedeckte Fläche um 3 Uhr morgens.
A(19) = -0.005·(19)^3 + 0.2·(19)^2 + 0.9·(19) + 1 = 56.01 cm²(Ich verstehe A)
b)Berechnen Sie die maximale Zunahme der von den Bakterien bedeckten Fläche .
A(t) = -0.005·t^3 + 0.2·t^2 + 0.9·t + 1
A'(t) = -0.015·t^2 + 0.4·t + 0.9
A''(t) = 0.4 - 0.03·t = 0 → t = 40/3 = t = 13.33 h (Nullstelle mit VZW von + nach - und damit LR-Krümmungswechsel)
(Wieso setzen wir hier die zweite ableitung gleich 0?Wir wollten doch die hochte Waschstumgeschwindigkeit das hat mit die erste ableitung zu tun oder?)
A'(40/3) = -0.015·(40/3)^2 + 0.4·(40/3) + 0.9 = 107/30 = 3.567 cm²/h
2 Antworten
(Wieso setzen wir hier die zweite ableitung gleich 0?Wir wollten doch die hochte Waschstumgeschwindigkeit das hat mit die erste ableitung zu tun oder?)
Das ist im Prinzip richtig, aber nicht ganz bis zum Ende gedacht.Die erste Ableitung A' gibt in der Tat die Wachstumsgeschwindigkeit an. Das entspricht der Steigung des Graphen von A. Wenn wir die Wachstumsgeschwindigkeit zu 0 setzen, wächst nichts, denn die Geschwindigkeit ist = 0. Wir haben also die minimale und nicht die maximale Geschwindigkeit. Das entspricht einem Hoch- oderTiefpunkt von A.
Grundsätzlich gilt: die größte Steigung hat eine Funktion immer im Wendepunkt. Die größte Steigung suchen wir, denn dann ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal. Also suchen wir den Wendepunkt und den kriegen wir, wenn wir die zweite Ableitung zu 0 setzen.
Die Nullstelle der zweiten Ableitung ist der Hochpunkt (oder Tiefpunkt) der ersten Ableitung
Aha und wenn ich die zweite ableitung gleich null setze dann finde ich die H und TP der erste funktion.Verstanden
Du meinst der ersten Ableitung, bei der Stelle dann überprüft werden muss ob Max oder Min.