Warum kann ein Randwert ein globales Maximum sein, obwohl ich dies nicht in der ersten ABleitung als Nullstelle habe?
Hier haben wir 3 Extremstellen. Die 0, die 2 und die 1.
Die 1 erhalte ich in dem ich die Ableitung des Integrals gleich 0 setze.
Dass diese Nullstelle dann automatisch immer ein globales Maximum ist (Denke ich zumindest mal) ist klar. Aber warum ist die 2 ein globales Maximum?
Anscheinend sei die 2 ein globales Maximum, müsste dass dann aber keine Nullstelle sein, bei der ersten Ableitung?
Das Randwerte ein lokales Maximum sind, ist mir klar, ich mein, warum es global sein kann.
2 Antworten
Dass diese Nullstelle dann automatisch immer ein globales Maximum ist (Denke ich zumindest mal) ist klar.
Nein das muss nicht unbedingt sein. Randstellen sind immer lokale extremstellen (zumindest wenn die Funktion stetig ist). Und sie können auch globale Extremstellen sein. Das einzige was lokale von globalen Extremstellen unterscheidet ist ja, dass die Funktion da den höchsten/niedrigsten wert hat. Dafür muss die Ableitung nicht 0 sein.
Einfaches Beispiel:
f(x) = x mit [0,1] als Definitionsbereich hat ein Globales Maximum und ein Globales Minimum, obwohl die Ableitung nie 0 ist.
Ich habe exakt nichts davon überprüft, aber natürlich kann x=2 ein Maximum sein auch ohne dass f'(2) = 0 ist.
Die Funktion geht dort einfach mit einer Steigung größer 0 ins "Abseits". Damit ist das automatisch ein lokales Maximum (und qualifiziert sich zumindest als Kandidat für das globale Maximum).
Das würde natürlich so nicht passieren wenn die Funktion auch für x > 2 definiert wäre.
Ändert ja nichts. Das globale Maximum deiner Funktion ist der größte Funktionswert im Definitionsbereich. Dafür müssen noch nichtmal lokale Maxima existieren!
https://www.studysmarter.de/schule/mathe/analysis/globale-extrema/
Ja lokales sowiueso, aber ich mein global