Extremwertaufgabe minimaler Umfang?
Ich habe die Funktionen
f(x)= -x+6
f(x)= -0,5x^2+6
f(x)=4/x
Ich schaffe es nicht, den minimalen Umfang eines Rechtecks zu berechnen (zwei Seiten müssen auf den Koordinatenachsen liegen und ein Eckpunkt auf dem Funktionsgraphen im 1. Quadranten)
Beispiel beim ersten:
U=2x+2y
U=2x+2(-x+6)
U=2x-2x+6
U(x)=6
Dann sind alle Ableitungen null und die notwendige und hinreichende Bedingungen nützen nichts mehr. Wie löse ich diese Aufgabe?
2 Antworten
Ich schaffe es nicht, den minimalen Umfang eines Rechtecks zu berechnen
Deine Erwartungshaltung bei der ersten Aufgabe ist das Problem. Du erwartest, dass eine Extremwertaufgabe immer ein Maximum (oder Minimum) liefert. (D)eine Rechnung zeigt aber (hier hast Du einen kleinen Fehler beim Ausmultiplizieren der Klammer), dass der Umfang immer 12 ist:
Der Umfang ist also konstant. Auch das ist ein Ergebnis einer Extremwertaufgabe.
Mit einer kleinen Skizze siehst Du das sofort (hier: 4*3=12 oder 2*(5+1)=12)
Habe es jetzt für die erste Funktion verstanden, aber bei den anderen stoße ich auch auf Probleme.
Die zweite z.B:
U(x)=2x+2(-0,5x^2+6)=2x-x^2+12
U'(x)=-2x+2
U''(x)=-2
Bei der hinreichenden Bedingung kommt dann ein Hochpunkt raus, was keinen Sinn ergibt. Was verstehe ich hier falsch?
Die dritte konnte ich lösen.
Um den minimalen Umfang des Rechtecks zu berechnen, das von der Funktion f(x) = -x + 6 und den Koordinatenachsen begrenzt wird, können Sie folgende Schritte ausführen:
- Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Funktion f(x) = -x + 6 mit der x-Achse. Setzen Sie dafür y=0 und lösen Sie nach x auf:
- 0 = -x + 6 => x = 6
- Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Funktion f(x) = -x + 6 mit der y-Achse. Setzen Sie dafür x=0 und lösen Sie nach y auf:
- y = -0 + 6 => y = 6
- Zeichnen Sie das Rechteck mit den Eckpunkten (0, 0), (6, 0), (6, -6) und (0, -6).
- Überprüfen Sie, ob einer der Eckpunkte des Rechtecks auf der Funktion f(x) = -0,5x^2 + 6 liegt. Berechnen Sie dazu die y-Koordinate der Funktion an den x-Koordinaten 0 und 6:
- f(0) = -0,5 * 0^2 + 6 => f(0) = 6
- f(6) = -0,5 * 6^2 + 6 => f(6) = -18
- Da keiner der y-Werte der Funktion im Bereich zwischen 0 und 6 liegt, liegt kein Eckpunkt des Rechtecks auf der Funktion.
- Berechnen Sie den Umfang des Rechtecks:
- U = 2 * (6 + 6) => U = 24
Somit hat das Rechteck mit den Koordinaten (0, 0), (6, 0), (6, -6) und (0, -6) den minimalen Umfang von 24.
So was kommt raus, wenn man ChatGPT fragt, die KI keine Ahnung von der Aufgabe hat und der Fragesteller die Antwort von ChatGPT auch nicht prüfen kann.