Warum sind sinus Werte im 3. Quadrant negativ?
Hiervon ausgehend:
Verstehe ich nicht, warum die Werte im 3. Quadranten nicht positiv sind:
Sowohl a als auch c sind im 3. Quadrant doch negativ, also sollte das Verhältnis doch positiv sein.
Frage Version 2 (Englisch):
4 Antworten
a ist negativ, deswegen ist sin(alpha) negativ.
c ist immer positiv.
Nein, c ist immer positiv.
Das Sinus und Kosinus negative Werte annhemen, hat erstmal keine geometrische Bedeutung (also klar, am Einheitskreis kann man sich das erklären, aber im Sinne der Dreiecke eben nicht).
Die Formel sin(alpha) = a/c macht nur für rechtwinklige Dreiecke Sinn. Und dort sind sowohl a als auch c positiv.
Dass der Sinus negativ sein kann, liegt an der Definition der Sinusfunktion, aber hat nicht in dem Sinne etwas mit den Seitenverhältnissen von Dreiecken zu tun.
c ist unabhängig von den Koordinatenachsen. c ist der Radius, in des Kreises, in dem sich die rechtwinkligen Dreiecke befinden (sie berühren den Kreis in nur einem Punkt). c sagt also nur aus, dass a^2 + b^2 = c^2 sein muss.
Die Orientierung (also ob positiv oder negativ) macht nur für Katheten (die beiden kurzen Seiten) Sinn.
Vielleicht habe ich einfach zu schnell das Dreieck aus der Dreiecksdefinition in die Einheitskreis Definition übertragen. Für mich erschien es nicht logisch anzunehmen dass in dem gleichen geometrischen Objekt (hier das rechte Dreieck im Einheitskreis) 2 Teile dem Koordinatensystem folgen, während 1 Teil nur dem Betrag folgt. Hast du vielleicht eine gute resource für Trigonometrie die solche Verwirrungen ausschließt oder habe ich einfach falsch geschlussfolgert?
Ne, eine gute Quelle habe ich gerade nicht.
Du kannst es dir aber wie folgt vorstellen:
Die Werte für Sinus und Kosinus sind so definiert, dass sie die Projektion eines Punktes, welcher auf dem Einheitskreis liegt, auf die Koordinatenachsen (x-Achse: Kosinus, y-Achse: Sinus) angeben - das alles eben abhängig des Winkels, der zwischen diesem Punkt und der x-Achse liegt (entgegen den Uhrzeigersinn).
Für den Spezialfall, dass wir uns im ersten Quadranten befinden, sind die für Sinus und Kosinus definierten Werte äquivalent zur Definition, dass sie die Seitenverhältnisse der Katheten zu der Hypotenuse angeben (und das mit sinnvollem Vorzeichen).
In diesem Spezialfall muss die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks natürlich nicht eins sein, aber das ändert nichts an den Seitenverhältnissen, da alle Dreiecke mit den selben Winkeln zueinander ähnlich sind.
c ist nicht negativ. Es ist der Vektor der vom Mittelpunkt in Richtung des Kreisrandes geht. Lediglich für a und b, die beiden Katheten, ist der Begriff "negativ" sinnvoll.
Verstehe, danke. Ist schwer herauszufinden, wenn es nirgendwo explizit steht und in dem Einheitskreis meistens ein Koordinatensystem eingezeichnet wird
Das Grundproblem ist dass eben bei der Berechnung des Sinus im Kreis lediglich durch die LÄNGE der Hypothenuse geteilt wird. Die Richtung der Hypothenuse spielt keine Rolle, die Richtung der Vektoren a und b, also ob sie ins negative oder positive zeigen, aber schon.
In der Mathematik wird der Sinus nicht über den Einheitskreis definiert, sondern über eine Potenzreihe. Damit ergibt sich das obige Ergebnis problemlos. Die Übertragung auf den Einheitskreis erfordert aber eine durchaus komplexe Mathematik, man muß schließlich erst mal definieren was eine "Länge" überhaupt ist.
Vielleicht habe ich einfach zu schnell das Dreieck aus der Dreiecksdefinition in die Einheitskreis Definition übertragen. Für mich erschien es nicht logisch anzunehmen dass in dem gleichen geometrischen Objekt (hier das rechte Dreieck im Einheitskreis) 2 Teile dem Koordinatensystem folgen, während 1 Teil nur dem Betrag folgt. Hast du vielleicht eine gute resource für Trigonometrie die solche Verwirrungen ausschließt oder habe ich einfach falsch geschlussfolgert? (Sorry der Kommentar sieht jetzt so unpersönlich aus, weil ich ihn jetzt öfters gepostet habe)
Danke :-) Vielleicht habe ich einfach zu schnell das Dreieck aus der Dreiecksdefinition in die Einheitskreis Definition übertragen. Für mich erschien es nicht logisch anzunehmen, dass in dem gleichen geometrischen Objekt (hier das rechte Dreieck im Einheitskreis) 2 Teile dem Koordinatensystem folgen, während 1 Teil nur dem Betrag folgt. Hast du vielleicht eine gute resource für Trigonometrie die solche Verwirrungen ausschließt oder habe ich einfach falsch geschlussfolgert?
Ich denke eben, die Definition der Winkelfunktionen über den Einheitskreis bringt bedeutend mehr als über die Verhältnisse am rechtwinkligen Dreieck.
soweit ich das verstanden habe , ist c immer positiv .
probiere es mit cos(x) aus . Im zweiten Qua ist der negativ und im dritten auch
Und c ist nicht negativ?