Mathe Trigonometrie Einheitskreis?
Hallo, kann mir wer helfen bei der Aufgabe?
Gib alle Winkel α im Intervall [0°; 360°] an, für die gilt: sin(α) = - cos(α)
(die Lösung lautet 135° und 315°)
Kann man das mithilfe dem Einheitskreis verstehen? Ich weiß in welchen Quadranten die Sinus und Cosinus Werte positiv bzw negativ sind. Danke LG
3 Antworten
Wenn sin(α) = - cos(α) sein soll, muss einer von beiden (Sinus oder Kosinus) positiv und der andere negativ sein.
Im zweiten Quadranten (90° ... 180°) ist der Sinus positiv und der Kosinus negativ.
Im vierten Quadranten (270° ... 360°) ist es umgekehrt.
Da die absoluten Beträge von Sinus und Kosinus gleich sein sollen, liegen die Winkel genau in der Mitte der Quadranten, also bei 135° und 315°.
Ein Einheitskreis ist immer hilfreich, um sich den Sachverhalt zu veranschaulichen.
Geht man von sin(x) = cos(x) aus, gibt es im Einheitskreis vier Lösungen. Diese liegen bei 45°, 135°, 225°, 315°.
Für alle diese Winkel gilt |sin(x)| = |cos(x)| = 1/√2
Die zugehörigen Vorzeichen von sin und cos sind:
45° (+,+), 135° (+,-), 225° (-,-), 315° (-,+)
Beschränkt man die obige Gleichung auf verschiedene Vorzeichen, bleiben nur noch die Lösungen 135° und 315° übrig.
Nun, wenn du weißt in welchem Quadranten die Sinus- und Cosinus-Werte positiv oder negativ sind, dann weißt du doch auch in welchen Quadranten die jeweiligen Zielwerte liegen müssen, oder nicht? Die genauen Werte erhältst du dann über die negative Winkelhalbierende (warum?).
wären bei tangens andere Lösungen also gelten die 4 winkel nur für sin(x)=cos(x)