Ableitung?
Hi ich sitze gerade an einer Ableitung und komme nicht drauf, hier sind ja viele die fit sind was Mathe angeht. Wäre super wenn mir kurz jemand helfen könnte und mir den Rechenweg schickt. Danke!
Welches Problem hast du genau? Produkt- und Kettenregel sind dir bekannt?
Ich hatte vergessen, wie man e hoch ableitet. Bzw., dass man das mit der Ketttenregel macht. Vielen Dank für deine Bemühungen!
6 Antworten
Und jetzt die Produktregel
= =
Die letzte Zeile find ich überflüssig, die ist doch komplizierer als die vorletzte. Und die vorletzte stimmt.
Das ist das Produkt zweier Funktionen:
f(x) = f1(x) * f2(x)
mit
f1(x) = -x^2 + 2 => f1'(x) = -2x
f2(x) = e^(-0.5 x + 1) => f2'(x) = -0.5 * e^(-0.5 x + 1) (Kettenregel)
Es gilt die Produktregel
f'(x) = (f1(x) * f2(x))' = f1'(x) * f2(x) + f1(x) * f2'(x)
= -2x * e^(-0.5 x + 1) + (-x^2 + 2) * (-0.5) * e^(-0.5 x + 1)
= (-2x + (-x^2 + 2) * (-0.5)) * exp(-0.5 x + 1)
= (-2x - (-x^2 + 2) * 0.5) * e^(-0.5 x + 1)
= (-2x - (-0.5 x^2 + 1) ) * e^(-0.5 x + 1)
= (-2x + (+0.5 x^2 - 1) ) * e^(-0.5 x + 1)
= (-2x + 0.5 x^2 - 1) * e^(-0.5 x + 1)
= (0.5 x^2 - 2x - 1) * e^(-0.5 x + 1)
Einfach die Produktregel anwenden:
f(x) = u(x) * v(x)
f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
Für v'(x) noch die Kettenregel:
v(x) = w(z(x))
v'(x) = w'(z(x)) * z'(x)
f(x) = (- x ^ 2 + 2) * e ^ (- 0.5 * x + 1)
Lässt sich umformen zu:
f(x) = e ^ (-0.5 * x + 1 + ln(- x ^ 2 + 2))
Kettenregel, also Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion:
Hilfe: ln(h(x))´ = h´(x) / h(x)
f´(x) = (-0.5 - 2 * x / (- x ^ 2 + 2)) * e ^ (-0.5 * x + 1 + ln(- x ^ 2 + 2))
Dabei spart man sich die Produktregel komplett und muss nur mit der Kettenregel arbeiten.
f´(x) kann man wieder zurück umformen wie auch immer man möchte, solange man korrekt umformt.
Produktregel und bei der Ableitung der Exponential-Funktion noch zusätzlich die Kettenregel anwenden…
Hier müsste es (-x² + 2) heißen, nicht (-x² + 1).