Integrieren von log(x)/x?

Ich verstehe nicht ganz den Rechenweg.. ich wähle mein z = log(x), bilde davon die Ableitung und setze sie = mit dz / dx --> die Ableitung von log(x) ist doch 1/x? Oder ist log(x) ungleich ln(x)? :D ist log(x) was anderes und die Ableitung davon ist e^x?

Answer 1

[LoverOfPi]

log(x)=ln(x). Ich verwechsel immer log(x) und lg(x).

Deins geht genauso:

u=ln(x) -> du/dx=1/x <-> x*du=dx

Es folgt direkt

int((u/x)*x*du)=int(u du)=1/2u²=1/2ln(x)²+C

Die haben das so gemacht:

z=ln(x)

e^z=e^ln(x)=x

und dann:

dx/dz=e^z

dx=e^z*dz

Dann haben sie x mit e^z getauscht (im Integral) und dx eingesetzt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester

Comments

[Halbrecht]

ich wundere mich ,dass hier log(x) einfach als ln(x) gerechnet wird.

[LoverOfPi]

@Halbrecht

Hat mich auch gewundert, dann habe ich auf Wiki geschaut und mir fiel ein, dass ich das immer verwechsel, es ist wohl tatsächlich so.

Answer 2

[Applwind]

Ich empfehle dir, diese unsaubere Darstellung der Differentiale nicht zu machen, sondern die richtig anzuwenden.

Setz einfach x = e^z

int(ln(e^z))/(e^z) * e^z dz) = int(z dz) = z^2/2 + C

=> ln(x)^2/(2) + C , C€ IR

Comments

[Xyanxx]

Wieso denn = e^z? Wo kommt das e her :D

[Applwind]

@Xyanxx

Die natürliche Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion vom natürlichen Logarithmus naturalis. So lässt sich der Integrand stark vereinfachen.