Wendepunkt?
Wie löse ich die aufgabe? G ist eine definierte ganzrationale funktion
3 Antworten
die -1 bewirkt eine Verschiebung um 1 nach unten
der Faktor 2 bei 2x bewirkt eine Streckung mit dem Faktor 1/2 in x-Richtung
der Wendepunkt von h ist dann (1|2)
sin(2x) ist im Vergleich zu sin(x) in x-Richtung "zusammengedrückt" also getreckt mit dem Faktor 1/2
vielleicht kannst du dir das an dem Beispiel bessr vorstellen
das gilt für alle Funktionen
Setzt man einen Wert x in die Funktion g(x) ein, erhält man einen Funktionswert, nennen wir ihn y1. Nimmt man nun eine modifizierte Funktion her, bei welcher in der Funktionsgleichung alle "x" durch "2x" ersetzt wurden, dann bedeutet das, dass man nun die Hälfte des ursprünglichen Wertes in die modifizierte Funktion einsetzen kann und wieder zum Wert y1 gelangt. Weil ja alle eingegebenen Zahlen verdoppelt werden, bevor die Funktion irgendwas anderes mit ihnen machen kann. D.h. bildlich staucht sich der ganze Graph in x-Richtung.
Die Funktion h(x) lässt sich so schreiben:
h(x) = g( f(x) ) + 1
Dann folgt für die Ableitungen:
h'(x) = g'( f(x) ) * f'(x)
h''(x) = f''(x) * g'(f(x)) + f'(x)² * g''(f(x))
Es gilt:
f(x) = 2x
f'(x) = 2
f''(x) = 0
Daraus folgt:
h''(x) = 4 * g''(2x)
Wegen g''(2) = 0 folgt x = 1, d.h. h(x) hat an der Stelle x = 1 eine Wendestelle. Und für y gilt:
h(x) = g(2x) - 1
h(1) = g(2) - 1 = 2
Die x-Koordinate des Wendepunktes von h ist 1 und die y-Koordinate ist 2. Also (1|2).
Hier ist die Lösung:
Wir wissen, dass:
(a) g(2) =3 und (b) g‘‘ (2) = 0 (zweite Ableitung, Bedingung für Wendepunkt).
Auch kennen wir die Kettenregel: (c) (f(g(x)))‘ = f‘(g(x)) * g‘(x)
Mit Anwendung von Kettenregel (c) auf h(x) erhalten wir die Bedingung für Wendepunkt von h: (d) h“(x) = 4*g“(2x) = 0.
Durch die Gleichungen (b) und (d) lässt sich leicht erkennen, dass x = 1 bei dem Wendepunkt von h sein muss.
Und schließlich lässt sich durch (a) und h(x) erkennen, dass y = 2 ist.
Danke. Aber warum bewirkt eine Streckung mit dem Faktor 2 die Streckung von 1/2?
Warum nicht 2?