Hypergeometrische Verteilung-Wahrscheinlichkeit mittels Kombinationen?

Die Hypergeometrische Verteilung berechnet die Wahrscheinlichkeit mittels Kombinationen durch den Binomialkoeffizienten. Ich verstehe aber nicht, wie da ne richtige Wahrscheinlichkeit nur mit den Kombinationen rauskommt. Sonst wird die Wahrscheinlichkeit ja immer über Pfadwahrscheinlichkeiten wie bei der Bernouli Formel ermittelt. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

die Bernoullikette funktioniert nur, wenn die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Zug gleich bleiben (Ziehen mit Zurücklegen).

Modell für die hypergeometrische Verteilung ist das Lottospiel, bei dem man auf Zahlen tippt, die aus einer Trommel gezogen werden.

Da nach jeder gezogenen Kugel die Anzahl der Kugeln in der Trommel sinkt (Ziehen ohne Zurücklegen), ändert sich die Wahrscheinlichkeit mit jedem Zug.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, vier Richtige angekreuzt zu haben, wenn aus 49 Zahlen sechs gezogen werden?

Hier benutzt man die Methode der hypergeometrischen Verteilung.

Der Binomialkoeffizient n über k gibt an, auf wie viele Arten man k Elemente aus n Elementen auswählen kann, wenn die Reihenfolge der Züge gleichgültig ist.

So kannst Du aus den Zahlen 1; 2; 3 und 4 sechs (4 über 2) unterschiedliche Zweierkombinationen bilden, nämlich 1-2; 1-3; 1-4; 2-3;2-4 und 3-4.

Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, gilt: 2-4=4-2.

Wenn Du vier Richtige haben möchtest, müssen vier Zahlen aus der Gruppe der sechs gezogenen stammen. Dafür gibt es wie gesagt 4 über 2 gleich sechs Möglichkeiten. Die beiden restlichen Zahlen stammen dann aus den anderen 43, die in der Trommel geblieben sind. Da gibt es 43 über 2 gleich 903 Möglichkeiten.

6*903=5418 unterschiedliche Kombinationen mit vier Richtigen und zwei anderen Zahlen.

Das geteilt durch die Anzahl aller möglichen Kombinationen von 6 aus 49, also
49 über 6=13.983.816 ergibt die Wahrscheinlichkeit für vier Richtige.

Du siehst, wie nützlich hier die Binomialkoeffizienten sind.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 2

[Wechselfreund]

Man geht von einem Versuch aus, bei dem sich die W.keit durch die Anzahl der günstigen durch Anzahl der möglichen Ausgänge ergibt.

Answer 3

[Rammstein53]

Die Dichtefunktion der hypergeometrischen Verteilung lässt sich folgendermaßen herleiten:

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man, indem die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten mit k roten und n-k blauen Kugeln auf die Anzahl aller möglichen Stichproben von n aus N Kugeln bezogen wird.

Weil das Ziehen ohne Zurücklegen erfolgt und die Reihenfolge keine Rolle spielt, lassen sich die Auswahlmöglichkeiten über die Formel für Kombinationen ohne Wiederholung berechnen.

(a) Auswahl von k aus M roten Kugeln: ( M über k ) Möglichkeiten

(b) Auswahl von n-k aus N-M blauen Kugeln: ( N-M über n-k ) Möglichkeiten

Auswahl (a) und (b): ( M über k ) * ( N-M über n-k ) Möglichkeiten

Auswahl von n aus N Kugeln: ( N über n ) Möglichkeiten

Damit gilt:

$P(X = k) = \begin{pmatrix} M\\k \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} N-M\\n-k \end{pmatrix} * \frac{1}{\begin{pmatrix} N\\n \end{pmatrix}}$

Es gilt

$\sum \limits_{k=0}^{n} P(X =k) = 1$

denn

$\sum \limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} M\\k \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} N-M\\n-k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} N\\n \end{pmatrix}$

Somit ist P(X = k) eine diskrete Dichtefunktion, und jedes P(X = k) eine Wahrscheinlichkeit.