Wahrscheinlichkeitsrechnung?

kann mir jemand bitte beibeiden aufgaben bitte helfen? Ich verstehe die beiden aufgaben nicht. Bin verzweifelt

Answer 1

[Genuatief]

a)

$\frac{15}{6}=\frac{13+m}{6}\ \rightarrow\ m=2$

b)

Von den 6 Flächen sind zwei mit einer "4". Die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer 4 ist daher p=2/6=1/3:

Diese Wahrscheinlichkeit p bleibt bei jedem Wurf gleich. Wiederhole ich den Wurf nun n-Mal, dann kann ich nach der Wahrscheinlichkeit fragen, dabei k-mal die 4 zu würfeln.

Das lässt sich durch die Binomialverteilung beschreiben:

$P\left(n,k\right)\ =\ \left(n,\ k\right)\cdot p^k\cdot\left(1-p\right)^{n-k}$

Mit (n, k) bezeichne ich die Binomialkoeffizienten; diese sind für k ≥1 definiert als

$\left(n,k\right)\ =\ \frac{n!}{k!\ \cdot\ \left(n-k\right)!}$

und für k=0 als:

$\left(n,0\right)=1$

(Normalerweise schreibt man das untereinander, aber das geht hier nicht...)

Die Anzahl der Treffer, k, wird in diesem Beispiel mit Y bezeichnet.

Jetzt kannst du dir damit überlegen:

Die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau 0-mal die 4 zu würfeln (k=Y=0) ist denmach

$P\left(n,0\right)=\left(n,0\right)\cdot p^0\cdot\left(1-p\right)^n=1\cdot1\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)^n=\left(\frac{2}{3}\right)^n$

Die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau 1-mal die 4 zu würfeln (k=Y=1) ist ähnlich:

$P\left(n,1\right)=\left(n,1\right)\cdot p^1\cdot\left(1-p\right)^{n-1}=n\cdot p\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)^{n-1}=n\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

Dabei wird benutzt, dass

$\left(n,\ 1\right)=\frac{n!}{1!\ \left(n-1\right)!}=\ n$

ist.

Nun, die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen entweder 0-mal oder 1-mal die 4 zu würfeln ist die Summe der obigen Wahrscheinlichkeiten (bei einander ausschließenden Ereignissen werden die Wahrscheinlichkeiten addiert):

$P\left(Y=0,1\right)=\ P\left(n,0\right)+P\left(n,1\right)$

Die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit, mehr als 1-mal eine "4" zu würfeln (Y≥2), also ist dies

$P\left(Y\ \ge2\right)=1-\left(P\left(n,0\right)+P\left(n,1\right)\right)$

oder eingesetzt

$P\left(Y\ge2\right)=1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\ -\ n\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

Comments

[Mavina305]

Vielen Dank, dass du dir die mühe gegeben hast mir das ausführlich zu erklären! Habs jetzt verstanden

[Mavina305]

danke! Hab das erste jetzt veratanden, aber das zweite ist mir immer noch ein Rätsel.

[Genuatief]

@Mavina305

Hab's ergänzt. Ist jetzt hoffentlich klar.

[Mavina305]

@Genuatief

Noch eine frage wann weiß ich denn immer wann ich die gegenwahrscheinlichleit benutzen muss

[Genuatief]

@Mavina305

Das Gegenereignis E' zu E ist jenes, das zusammen mit dem E ein sicheres Ereignis ergibt. Wenn E die Ereignisse "null oder einmal 4 gewürfelt" beschreibt, dann hat man zusammen mit dem "komplimentären" Ereignis "ich würfle 2 oder mehr mal die 4", alle Möglichkeiten abgedeckt: 0, 1,2,3,4....n

Eines dieser "alle Möglichkeiten" tritt 100% sicher ein, hat also Wahrscheinlichkeit 1. Daher ist

P(E)+P(E')=1

[Genuatief]

@Genuatief

Und hier war quasi das Gegenereignis gefragt.

Answer 2

[Blackundercover]

Zu a: schau dir wie der Erwartungswert eines normalen Würfels berechnet wird und passe die Formel für die Berechnung deiner Würfel. Am Ende setzt du die Erwartungswerte gleich und ermittelst dein m.

Zu b: nur ein Hinweis: kommulierte Binomialverteilung. P(Y >=2) ist das Gleiche wie 1 - P( Y < 2) oder 1 - (P <= 1)

Answer 3

[DerJens292]

der Würfel A hat 15 Punkte. Wirfst du ihn einmal, hast du im Durchschnitt 2,5 (Mittelwert von entweder 2 oder 3)

Würfel C hat 13 Punkte, da bleiben für m = 2 übrig, damit du bei einem durchschnittlichen Wurf 2,5 erziehlst

Diese Überlegung kann falsch sein, wird sie vermutlich auch, aber so würde ich die Aufgabe betrachten.

Answer 4

[Ganlin423]

Das ist mir zwar gerade zu hoch, aber ich denke das ist machbar. Viel Erfolg :)