bitte um erklärung mathe wahrscheinlichkeit?
ich verstehe leider wahrscheinlichkeiten gar nicht und wollte fragen ob jemand so nett sein könnte mir den rechenansatz dieser aufgabe zu erklären. aufgabe 15
2 Antworten
Aufgabe:
Alex und Bea vereinbaren folgendes Spiel: Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden zwei Karten gezogen. Haben diese die gleiche "Farbe" (Herz, Karo, Pik, Treff), so gewinnt Alex. Und zwar erhält er vor Bea 0,50€, wenn es zwei Herz-, Karo, oder Pik-Karten sind. Wenn es zwei Treff-Karten sind, erhält er sogar 1,00€. Wenn die Karten von verschiedener Farbe sind, hat Bea gewonnen und erhält von Alex 0,20€. Berechne den durchschnittlichen Gewinn (bzw. Verlust), den Alex pro Spiel erwarten kann!
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit, im ersten und zweiten Zug die gleiche Kartenfarbe zu ziehen, beträgt: P(gleiche Farbe) = 8/32 * 7/31. Das ergibt sich daraus, dass im ersten Versuch von 32 Karten 8 die gleiche Farbe haben, und im zweiten Versuch von den verbleibenden 31 Karten nur noch 7 die gleiche Farbe haben.
Für Herz, Karo und Pik gelten diese Wahrscheinlichkeiten jeweils unabhängig voneinander. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 0,50€: P(H,K,P) = 3 * 8/32 * 8/31 = 6/31. Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 1,00€ liegt bei: P(T) = 1 * 8/32 * 8/31 = 2/31.
In allen anderen Fällen muss Alex 0,20€ zahlen. Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch: P(ungleiche Farbe) = 1 - P(gleiche Farbe) = 1 - (6/31 + 2/31) = 24/31.
Der durchschnittliche Gewinn, also der Erwartungswert, ergibt sich durch die Multiplikation jedes möglichen Gewinns mit seiner Wahrscheinlichkeit und deren Addition:
E = (6/31 * 0,50€) + (2/31 * 1,00€) + (24/31 * (-0,20€)) = 1/155€, was ungefähr einem Gewinn von 0,645ct entspricht.
Da die beiden Personen gegeneinander spielen, und sich das Geld nur hin und her schieben, muss man hier keinen Einsatz abziehen, sondern nur den Gewinn als negative Zahl hinschreiben, wenn das Spiel verloren wird. Ansonsten kann man es nach dem Prinzip wie in dem Video (siehe unten) berechnen.
Ein Tipp für die Karten: Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Karte mit einem bestimmten Symbol zieht, liegt bei 1/4 ,da es vier unterschiedliche Symbole gibt.