Textaufgabe Binomialverteilung?
Hallo liebe Community,
im Unterricht haben wir als Textaufgabe zur Binomialverteilung folgende Aufgabe gekriegt und sie auch wie folgt gelöst:
Ich verstehe den Lösungsweg der c) nicht. Woher kommen die 95% in der zweiten Zeile des Lösungswegs und warum muss das gelten, was in der vierten Zeile steht ((mü - 1,64 * sigma) größer/gleich 1200)?
Da es klausurrelevant ist wäre es nett wenn mir das jemand erklären könnte.
Lg
1 Antwort
Hallo,
zunächst muß in der letzten Zeile der Lösung am Schluß >1200 stehen, nicht >1300.
Zum anderen geht es hier um die Standardnormalverteilung, die unter bestimmten Voraussetzungen als Näherung für die Binomialverteilung benutzt werden kann.
Die Standardnormalverteilung hat als Graph die berühmte Gaußsche Glockenkurve.
Sie ist symmetrisch zum Mittelwert und gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich Zufallswerte in einem bestimmten Intervall befinden.
Die höchste Erhebung der Glockenkurve liegt in der Mitte. Hier ist der Erwartungswert angesiedelt. Für die Fläche unter der Kurve, die auf 1 bzw. 100 % genormt ist, gilt:
50 % aller zufällig erreichten Werte liegen zwischen minus unendlich und dem Erwartungswert, die anderen 50 % liegen zwischen dem Erwartungswert und dem Maximalwert.
Für die anderen Wahrscheinlichkeitswerte gibt es Tabellen, die bei der Standardnormalverteilung als Einheit eine Standardabweichung nehmen.
In diesem Fall siehst Du den Wert 1,64 Standardeinheiten (sigma).
Nimmst Du die Glockenkurve, hast Du in der Mitte wie gesagt den Erwartungswert.
Zwischen minus unendlich und einer Abweichung von 1,64 sigma rechts vom Erwartungswert liegen 95 % aller Werte.
Da die Kurve symmetrisch ist zu ihrer Mitte, kannst Du diese 1,64 sigma auch vom Erwartungswert abziehen. Zwischen dieser Stelle und plus unendlich liegen dann auch 95 % aller Werte.
Nun muß n, die Anzahl der bestellten Reifen, so bestellt werden, daß Erwartungswert minus 1,64 sigma 1200 ergibt. Dann ist alles, was weniger als 1200 ist, außerhalb des markierten Bereiches zwischen Erwartungswert minus 1,64 sigma und plus unendlich. Das bedeutet, daß die Wahrscheinlichkeit, weniger als 1200 intakte Reifen zu bekommen, auf 5 % sinkt.
Nun wurde n hier nicht extra berechnet, sondern durch Probieren gefunden. Da man nur palettenweise bestellen kann, ist eigentlich schon klar, daß es mit 12 Paletten à 100 Stück nicht getan sein kann, denn ein bißchen Schwund (hier: 3 %) ist immer.
Die nächstmögliche Bestellmenge wären 13 Paletten, also 1300 Reifen.
Ist damit zu rechnen, daß in 95 % aller Fälle mindestens 1200 von ihnen ok sind?
Dann müßte der Erwartungswert minus 1,64 Standardabweichungen eine Zahl von mindestens 1200 ergeben.
Erwartungswert bei 1300 Reifen bei einer Fehlerquote von 3 % ist 1300*0,97,
also 1261 intakte.
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus (Erwartungswert, also 1261, mal Gegenwahrscheinlichkeit, also 0,03)~6,15.
1,64*6,15=10,086, also etwa 10,1.
1261-10,1=1250,9, auf ganze Reifen abgerundet 1250. Da dieser Wert oberhalb der geforderten 1200 liegt, reicht es, 13 Paletten zu bestellen.
Herzliche Grüße,
Willy
Das gilt für die Standardnormalverteilung und ist einschlägigen Tabellen zu entnehmen. Du kannst es auch selbst ausrechnen:
[1/Wurzel (2pi)]*Integral e^(-0,5x²)*dx.
Gibst Du als untere Integralgrenze eine hinreichend niedrige Zahl ein (-7 reicht) und als obere den Faktor vor der Standardabweichung (hier: 1,64) bekommst Du den Anteil der Werte heraus, die sich bis zur Obergrenze unterhalb der Glockenkurve befinden (hier: etwa 95 %).
Für die Berechnung des Integrals solltest Du einen Rechner verwenden. Das läßt sich nicht mal eben so über eine Stammfunktion berechnen..
„Zwischen minus unendlich und einer Abweichung von 1,64 sigma rechts vom Erwartungswert liegen 95 % aller Werte.“
Das kann ich also einfach annehmen?