Standardabweichung von Würfeln?
Hey, Ich habe eine wichtige Frage für mein Mathe Abitur. Und zwar geht es um ein Spiel, bei dem die 1=100 und 6=60 zählt, die anderen Zahlen entsprechen den Augenzahlen. Nun hier ist meine Frage, was ist (der Erwartungswert und) die Standardabweichung von drei solcher Würfel? Ich weiß, dass der Erwartungswert pro Würfel 29, also insgesamt 87 beträgt, aber mit den Formeln aus dem Internet verzweifle ich, da ich diese ja brauche, um die Standardabweichung zu berechnen.
Könnte jemand das für mich ein wenig aufdröseln und erklären, wie man die Standardabweichung von drei solcher Würfel (oder vielleicht erstmal von einem) berechnet?
Ich hoffe wirklich ihr könnt mir helfen.
Liebe Grüße, Nick.
1 Antwort
Einzelner Würfel:
Var(X1)
= p1 * (x1-µ)² + p2 * (x2-µ)² + ...
= 1/6 * (100 - 29)² + 1/6 * (2 - 29)² + ... + 1/6 * (5 - 29)² + 1/6 * (60 - 29)²
= 1434,66666666667
StdAbw(X1) = Wurzel(Var(X1)) = 37,8769938969114
Wir können natürlich den Mittelwert aller 216 Kombinationen direkt berechnen (und mit einer Tabellenkalkulation geht es sogar). Aber es geht auch über eine Formel: https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik) "Die Varianz einer Summe unkorrelierter Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen."
Wir haben hier drei unabhängige Würfel, die Voraussetzung ist also erfüllt. Außerdem sind die Würfel (und insbesondere die Werte der Ergebnisse) gleich, also brauchen wir nur die Varianz für einen einzelnen Würfel mit 3 zu multiplizieren:
Var(X3) = 3 * Var(X1) = 4304
StdAbw(X3) = Wurzel(Var(X3)) = 65,6048778674269