Könnte mir jemand die Aufgabe 15) machen?

Es wäre super nett wenn mir jemand 2 von diesem vier Aufgaben rechnen würde. Ich verstehe es leider gar nicht, deshalb wären kurze Stichpunkte als Erklärung zusätzlich super hilfreich. Vielen Dank schonmal im Voraus

Comments

[GreenxPiece]

Womit hast du denn genau Probleme? Es gibt ja 2 Aufgabenteile, einmal die Erstellung des funktionsterms und einmal die Berechnung des integrals.

[Celina860]

es fängt schon beim Funktionsterm an, Berechnung des Integrals fällt mir aber auch ziemlich schwer

Answer 1

[JensR77]

Ich gehe davon aus, dass das Polynomfunktionen 2. und 3. Grades sind.

In dem Fall kannst du die Funktionsterme ermitteln, in dem ein lineares Gleichungssystem aufstellst. Hier kannst du das mithilfe der Koordinaten machen.
Du brauchst mindestens eine Koordinate mehr als der Grad.

Z.B. hast du bei c) eine Funktion 3. Grades, du brauchst also 4 Koordinaten. Diese kannst du direkt aus der Zeichnung herauslesen:
A (-2|-5); B (-1|0); C (1|1); D (3|0). Und wir haben sogar noch eine 5. Koordinate mit (4|5).

Jetzt kannst du mit jeder Koordinate eine Gleichung aufstellen. Das es sich um eine Funktion 3. Grades handelt, sieht die Funktionsgleichung ja so aus:
$f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d$

Jede Koordinate ist ein x-Wert mit dem zugehörigen y-Wert (d.h. f(x)) und ergibt eine lineare Gleichung.
Für die Koordinate A wäre das z.B.:
$-5=a\left(-2\right)^3+b\left(-2\right)^2+c\left(-2\right)+d$

Ich habe hier bewusst y und x an den Stellen mit -5 und -2 ersetzt, wo sie auch in der Standardfunktiongleichung stehen, damit du siehst, was da passiert.
In der Praxis würde ich es aber so umstellen:
$\left(-2\right)^3a+\left(-2\right)^2b+\left(-2\right)c+d=-5$

Das kannst kann man zuerst einmal so umformen:
$-8a+4b-2c+d=-5$

Nach demselben Schema kannst du für alle Koordinaten vorgehen und erhälst dann vier Gleichungen für die vier Unbekannten, die Koeffizienten a, b, c und d. Wie gesagt hast du hier sogar fünf Koordinaten. Da suchst du dir geschickterweise diejenigen aus, die die Gleichung einfach machen (also am besten solche mit kleinen x-Werten).

Dann ermittelst du diese Koeffizienten. Wenn du die hast, hast du auch die Funktionsgleichung und kannst danach mit dem Integral weitermachen.

Ich würde dich ermutigen, das mal selbst zu versuchen. So lernst du das am besten. 😀
Wenn du nicht mehr weiterkommst oder dein Ergebnis überprüfen lassen willst, schaue ich mir das gerne an.
(Wobei es vermutlich wieder jemanden geben wird, der dir die Aufgaben auf dem Silbertablett präsentiert. Bequem für dich, aber der Lerneffekt ist da halt nicht ideal.)

PS: Die Koordinaten haben natürlich mit den Koeffizienten direkt nichts zu tun. Ich habe hier nur aus Gewohnheit Buchstaben von vorne im Alphabet genommen. Ich hoffe, das verwirrt nicht.

​

Nachtrag:

$f\left(x\right)=x^2+2x-3$

Stammfunktion dazu:
$F\left(x\right)=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+2\cdot\frac{1}{1+1}x^{1+1}-3\cdot\frac{1}{0+1}x^{0+1}+C=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x+C$

Das gesuchte Integral geht von -2 bis +2, also berechnest du F(2) - F(-2):

$F\left(2\right)-F\left(-2\right)=$ $\left[\frac{1}{3}\cdot2^3+2^2-3\cdot2+C\right]-\left[\frac{1}{3}\cdot\left(-2\right)^3+\left(-2\right)^2-3\cdot\left(-2\right)+C\right]=$

$\left(\frac{8}{3}+4-6+C\right)-\left(-\frac{8}{3}+4+6+C\right)=$

$\frac{16}{3}-12=-\frac{20}{3}$

Auf den ersten Blick mag es komisch erscheinen, dass man hier einen negativen Wert herausbekommt, aber man zieht ja die Flächen unter der x-Achse von den Flächen über der x-Achse ab und weil die Fläche darunter (von x=-2 bis x=1) größer ist als die Fläche darüber (von x=1 bis x=2) ist das Ergebnis insgesamt negativ.

Comments

[Celina860]

Vielen Dank für die hilfreiche Antwort, die Funktionsgleichung für a und c hab ich jetzt schon gemacht, da kommt bei mir einmal f(x)= x^2 +2x- 3 raus und bei c) f(x)= 1/3x^3-x^2-1/3x+1. Jetzt hänge ich aber natürlich wie zu erwarten bei dem Integral😀

[JensR77]

@Celina860

Das Integral zu x^n ist ja immer 1/(n+1) ⋅ x^(n+1). Z.B. ist das für x² dann ⅓ x³. Das kannst du sogar für Konstanten machen, wenn du dir die als Vielfache von x⁰ denkst. Also z.B. 5 denkst du dir als 5 ⋅ x⁰, das zu 5 ⋅ 1/1 ⋅ x¹ wird, also 5x.

Das +C kannst du dir hier sparen, weil du ja bestimmtes Integral berechnen willst, wo dann das +C wieder wegfällt.

Wenn du die Stammfunktion erstellt hast, ermittelst du die Differenz von zwei konkreten x-Werten. Von F(obere Grenze) ziehst du F(untere Grenze) ab. Bei a) wäre das z.B. -2 (untere Grenze) und +2 (obere Grenze).

[JensR77]

@Celina860

Die Funktionsgleichungen für a) und c) sind übrigens richtig. :-)

[JensR77]

@Celina860

Ich mache jetzt noch ein bisschen Sport, bin also für ne Weile weg.
Ich habe dir in meiner Originalantwort als Nachtrag die Rechnung für Aufgabe a) hingeschrieben, falls die Erklärung nicht so verständlich war. Kannst du ja dann mit deiner Rechnung vergleichen.
Bei der Ermittlung der Stammfunktion habe ich als ersten (Zwischen)Schritt die schematische Ermittlung der Stammfunktion von xⁿ zu 1/(n+1) xⁿ⁺¹ ausführlich hingeschrieben. Das würde ich normalerweise weglassen und z.B. sofort von 2x zu x² gehen, aber ich habe das mal gemacht, damit du den Gedankengang nochmal mit konkreten Zahlen siehst.