Radius und Differentialgleichung?
Guten Tag,
ich sitze nun seit längerem an dieser Aufgabe (Aufgabe 17b)) und komme einfach nicht auf dieselbe Lösung wie im Buch. Im folgenden ist die Aufgabe sowie meine Lösung aufgeführt.
Ich finde meinen Denkfehler einfach nicht…. Eine alternative Lösung wird mir nichts bringen, ich möchte wirklich wissen, warum ich mit meinem Ansatz auf das falsche Ergebnis komme.
Vielem Dank im Voraus!
4 Antworten
In deiner Lösung rechnest du aus mit welchem Radius eine Kugel das Volumen 1,5 hat und folgerst dann, dass wenn der Radius sich um diesen Betrag ändert auch das Volumen um 1,5 ändert das ist aber so nicht richtig.
Beispiel sei r = 1 => r^3 = 1 betrachten wir nun r = 2 => r^3 = 8 wir haben also eine Änderung von 7. Sei aber nun r = 3 => r^3 = 27. Wir haben nun wieder eine Änderung von 1 im r aber statts 7 nun 19 Änderung in r^3
Da Radius und Kugelvolumen in kubischer Abhängigkeit stehen führt ein lineares Wachstum im Volumen nicht zu linearem Wachstum im Radius
Ich hoffe die Anwort war verständlich.
a)
V(t) = V(r₀) + 1,5 m³ * t , t in min
V(t) = (0,5 m)³ * (4/3) * π + 1,5 m³ * t
b)
V(r₀) = r₀³ * (4/3) * π
r₀ = ³√(3 * V(r₀) / (4 * π))
r(t) = ³√(3 * (r₀³ * (4/3) * π + 1,5 m³ * t) / (4 * π))
r(t) = ³√(3 * ((0,5 m)³ * (4/3) * π + 1,5 m³ * t) / (4 * π)) , t in min
Kontrolle:
t = 0 min: r₀ = 0,5 m ; V₀ = 0,523598... m³
t = 1 min: r₁ = 0,78465... m ; V₁ = 2,023598... m³
t = 2 min: r₂ = 0,94398... m ; V₂ = 3,523598... m³
t = 5 min: r₅ = 1,24191... m ; V₅ = 8,023598... m³
Hallo Luisss29,
hast du denn die Lösung zur Teilaufgabe (a) schon mit Sicherheit richtig ermittelt ?
In diesem Fall sollte es leicht sein, auch zu (b) die korrekte Lösung anzugeben.
Bei der Kugel gilt ja V = (4 π / 3) * r^3
Also muss auch gelten:
r(t) = Kubikwurzel aus (3 * V(t) / ( 4 π )
Ich rechne anders: V0=V(r=0.5)=(4/3)Pi*r³=0,5235m³
V(t)=V0+1,5*t (zeit in min und V in m³)
Mit t=5min und Vo komme ich auf V(5)=8,02m³ und r=1,91m