Mathe abi 2025 LK Funktionsschar aufgabe?
Hallo, kann mir jemand bei Aufgabe b) (3) helfen? Wo ist da der Ansatz und wie kann man das bestimmen? In den Lösungen steht kein Rechenweg …
Danke
2 Antworten
b)
(1) f"_k(x) = 6e^-k (x - k)
Wendepunkt:
f'' = 0
6e^-k (x - k)
Satz vom Nullprodukt:
Fall 1: 6e^-k = 0
es gibt keine Lösung da e hoch irgendwas nie 0 werden kann
Fall 2: x - k = =
x = k
Lösung: xw = k
(2)
Koordinaten des Scheitelpunktes S:
S(k/f_k(k))
f_k(k) = e^-k*((x-k)^3-3*(x-k)+k^2)
Ansatz:
x = k => k = x
y = e^-k*((x-k)^3-3*(x-k)+k^2)
k = x eingesetzt in y:
y = e^-x*((k-k)^3-3*(k-k)+x^2)
y = e^-x*(0^3-3*0+x^2)
= e^-x * x^2
(i)
w = e^-x * x^2
Substitution:
e^-x = u
x^2 = v
u' = -e^-x
v' = 2x
w' = u * v' + u' * v
Rücksubstitution:
w' = 2x * e^-x - e^-x * x^2 = e^-x(2x - x^2) = e^-x(-x^2 + 2x)
q.e.d.
(ii)
w'' = (x^2 - 4x + 2) * e^-x
Satz vom Nullprodukt:
Fall 1:
e^-x = 0..keine Lösung
Fall2:
x^2 - 4x + 2 = 0
Mitternachtsformel:
x1 = 0,586
x2 = 3,414
w'(-0,5) = 0,758
w'(0,586) = 1,489
w'(3,141) = -0,159
Ergebnis: das globale Maximum von w' liegt bei x = 1,489
(3)
w_neu ist gegenüber w um 2 nach rechts verschoben, da überall das x durch (x-2) ersetzt wurde. Dementsprechend muss auch vk um 2 nach rechts gegenüber fk verschoben werden.
wneu ist um den Faktor 3 gestreckt. Der Faktor 3 bleibt dann in allen Ableitungen erhalten (Faktorregel), wenn dieser Faktor vor der gesamten Funktionsgleichung steht.
Daher:
vk = 3*e^-1*((x-3)^3-3*(x-3)+1^2)
alle Angaben ohne Gewähr.
Hättest du die Lösung mitgepostet, könnte man vor Abschicken prüfen, ob irgendwo ein Fehler drin ist.
zu b) (3)
fk''(x) = x – k (Wendestelle bei x = k)
fk'(x) = (1/2) * (x – k)² + b
fk(x) = (1/6) * (x – k)³ + b * (x – k) + c mit c = wk(x) = 3 * e^-(k – 2) * (k – 2)²
x = k
y = (1/6) * (k – k)³ + b * (k – k) + 3 * e^-(k – 2) * (k – 2)² = 3 * e^-(k – 2) * (k – 2)²
k = x einsetzen:
Ortskurve der Wendepunkte:
y = w(x) = 3 * e^-(x – 2) * (x – 2)²