Mathe IQB Aufgabe Abitur 2024?
Kann mir bitte jemand erklären wie man bei dieser Aufgabe auf die Lösung der Aufgabe b) kommt?
1 Antwort
Hallo,
es gibt nur vier unterschiedliche Zahlen auf dem Tetraeder. Soll jede von ihnen bei fünfmaligem Würfeln mindestens einmal erscheinen, bedeutet das, daß eine der vier Zahlen doppelt sein muß. Du würfelst ein Pärchen und drei unterschiedliche andere Zahlen.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Pärchen ist 1*1/4, denn beim ersten Würfeln ist es egal, welche Zahl kommt, beim zweiten Würfeln muß diese Zahl noch einmal erscheinen. Da es eine von 4 ist, ist die Wahrscheinlichkeit dafür 1/4. Die nächste Zahl muß eine der drei restlichen sein, Wahrscheinlichkeit 3/4; dann muß eine von zwei kommen, also 2/4, zuletzt die einzige, die noch nicht dabei war, also noch einmal 1/4.
Das ergibt (1/4)*(3/4)*(2/4)*(1/4). Nun muß das Pärchen ja nicht unbedingt bei den beiden ersten Würfen erscheinen. Es kann ja auch der zweite und dritte Wurf sein oder der erste und vierte usw. Insgesamt gibt es 5 über 2 gleich 10 Möglichkeiten, wie sich die beiden Würfe des Pärchens auf die fünf Würfe verteilen.
Deswegen muß das Ganze noch mit 10 multipliziert werden.
Ergibt (10*1*3*2*1)/(4*4*4*4)=60/4^4=15/4^3=15/64.
Herzliche Grüße,
Willy
Du kannst es Dir auch anders klar machen:
Wahrscheinlichkeit ist der Quotient aus der Anzahl der erwünschten Ereignisse und der möglichen Ereignisse.
Wenn Du fünfmal mit einem Tetraeder würfelst, kann jeder Wurf eine von vier Zahlen zeigen. Das ergibt 4^5=1024 unterschiedliche Möglichkeiten, inklusive aller möglichen Reihenfolgen.
Nun die erwünschten Ereignisse, jede Zahl einmal, eine von ihnen doppelt.
Für die erste Zahl hast Du vier Möglichkeiten, für die zweite noch drei, für die dritte zwei, für die letzte eine. Nun die doppelte. Die muß identisch sein mit einer der vier zuvor gewürfelten Zahlen. Da bei den ersten vier Würfen bereits alle Reihenfolgen berücksichtigt sind, kannst Du einfach die erste nehmen, die doppelt sein soll. Du multiplizierst also noch einmal mit 1, ergibt 24, also 4!*1.
Nun hast Du fünf Zahlen, drei einzelne und ein Pärchen. Dieses Pärchen kann sich auf 10 unterschiedliche Arten (5 über 2) auf die fünf Würfe verteilen.
Ergibt insgesamt 24*10=240 erwünschte Kombinationen von 1024.
240/1024 ergibt nach Kürzen durch 16 15/64.
Wieso wird hier aber nicht berücksichtigt, welche Zahl geworfen wird? Es kann ja die 1, 2, 3 oder 4 doppelt vorkommen. Müsste es dann nicht mehr Pfade geben?