Mathe Extremalproblem?
Hallo, habe hier ein Extremalproblem welches ich wahrscheinlich falsch gerechnet habe. Kann jemand mal rüberschauen was falsch ist und mir erklären? Vielen Dank für die Mühe 🙏🏼
PS: Es geht nur um die c).
4 Antworten
Hallo,
es ist davon auszugehen, daß - wie aus a zu entnehmen ist - 200 Spiele gespielt werden, wenn p=0,1, also 10/100 mehr als 0.
Wenn pro p/100 15 Spiele mehr gespielt werden, dann wären es bei p=0 10*15=150 Spiele weniger gewesen, was 50 ergibt.
Demnach wäre x=50+1500p.
Im zweiten Teil des Terms hat man den fixen Wert von -0,045, denn unabhängig von p verliert der Betreiber bei jedem 100. Spiel 4,50 € (5 € Auszahlung stehen 0,50 € Einsatz gegenüber). Pro Spiel ergibt das -4,5/100=-0,045.
Dann gibt es noch den von p abhängigen Wert für die Spiele, bei denen der Betreiber den vollen Einsatz von 0,50 € einkassiert. Der Rest sind die Spiele, bei denen der Spieler seinen Einsatz zurückbekommt, eine Nullnummer für beide also.
Das führt zu f(p)=(1500p+50)*(0,5*(0,99-p)-0,045).
Den zweiten Term kann man noch etwas verschlanken zu 0,45-0,5p.
Ergibt f(p)=(1500p+50)*(0,45-0,5p).
Nun entweder ausmultiplizieren und ableiten oder nach der Produktregel ableiten, anschließend die Ableitung gleich Null setzen und nach p auflösen ergibt als Extremwert p=13/30 oder etwa 43,33 %.
Du solltest allerdings auch noch die Ränder überprüfen, also berechnen, was f(0) und f(0,99) ergibt, denn in diesem Intervall kann sich p nur bewegen.
Herzliche Grüße,
Willy
Bei p=90 wäre das Spiel fair: Der Betreiber und der Spieler gewinnen nichts und verlieren nichts auf Dauer. Ab p=91 wird es für den Betreiber ein Verlustgeschäft.
Während ich mir die Aufgabe und deine Rechnung durchgelesen und durchdacht habe, hat eterneladam schon geantwortet. Ich überlasse daher ihm das Feld, auch weil ich vermute, dass die Aufgabenstellung schlampig gestellt wurde (s. mein Kommentar unter eterneladams Antwort).
Denn wenn der Text so zu verstehen ist, wie er dasteht, wäre die Anzahl der Spiele so auszudrücken:
Auch, wenn man die Zahlen etwas umstellt, ergibt sich immer noch eine Logarithmusfunktion:
Wenn dieser Ausdruck etwas ist, womit ihr üblicherweise rechnen würdet, ist es vielleicht wirklich so gemeint. Ansonsten wurde hier, wie ich meine, geschlampt.
(Ich sage meinen Nachhilfeschülern immer, dass sie einen genauen Unterschied zwischen einer Änderung x Prozent bzw. einer Änderung um x Prozentpunkte machen sollen. Das sollte man von Verfassern eines Mathelehrbuchs also umso mehr verlangen können.)
Die Klammer aus (b) kann bleiben, das x davor muss man anpassen. Mit deiner Anpassung bin ich nicht einverstanden, ich sehe hier
200 + (p - 0.1)/0.01 × 15
Die Erhöhung von p=0.1 um 1 Prozent(punkt) soll zu 215 Spielen führen.
Jetzt kannst du einen neuen Anlauf nehmen....
Erhöhung von p=0.1 um 1 Prozent(punkt)
Das hier ist für mich eines der Knackpunkte der Aufgabe.
Im Angabentext statt ganz klar "um jeweils 1%" und nicht "um jeweils einen Prozentpunkt". Das macht hier einen gewaltigen Unterschied.
Ich denke aber wie du, dass hier wohl Prozentpunkte gemeint sein sollen, aber es steht eben nicht so da.
Bevor man hier losrechnet, müsste das geklärt werden, bzw. man müsste die Angabe so nehmen, wie sie dasteht.
Einverstanden, ich habe es halt so interpretiert, wie es die Leute erfahrungsgemäss in 99% (:-)) aller Fälle meinen.
Wie in der Aufgabenstellung bereits vorgeben, liegt der Erwartungswert des Automaten bei
E(n,p) = n*(-4.5*0.01 + 0.5*(0.99-p))
mit n = Anzahl Spiele pro Tag
Als Nebenbedingung gilt:
n = 50+(p/0.01)*15
Also z.B: für p = 0.1 ist n = 200, für p = 0.11 ist n = 215 usw.
Nebenbedingung einsetzen:
E(p) = (50+(p/0.01)*15)*(-4.5*0.01 + 0.5*(0.99-p))
E'(p) = -1500*p + 650
Maximum bei p = 650/1500 = 65/150 = 13/30
P.S.
Die Aufgabenstellung würde ich aus folgenden Gründen mit "ungenügend" bewerten:
- wie schon von anderen kritisiert handelt es sich um einen "Prozentpunkt"
- keine Maschine lässt sich auf p = 13/30 einstellen
- mit höherem p sinkt der Erwartungswert für den Spieler. Warum sollte das durchschnittlich zu mehr Spielen führen?
Bei der dritten Begründung komme ich nicht mit.
Der Erwartungswert ist doch der für den Automaten. Aber wenn dieser sinkt, steigt der Erwartungswert für den Spieler.
Ist doch auch logisch: Laut Angabe wird in 1% der Fälle das 10-fache ausbezahlt (nennen wir das mal "Jackpot"). Das ist offensichtlich eine fixe Größe. p gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Spieler genau seinen Einsatz zurückbekommt. In allen anderen Fällen verliert der Spieler den Einsatz.
Da sich wie gesagt die Häufigkeit des Jackpots nicht ändert, muss ein größeres p doch gezwungenermaßen dazu führen, dass die einzige andere Variable Größe, die den Einsatz komplett zu verlieren, geringer wird.
Und ein seltenerer Verlust führt logischerweise zu einem höheren Erwartungswert. (Immer aus Sicht des Spielers.)
Es sei dahingestellt, ob es realistisch ist, dass Spieler Veränderungen des Spielerfolgs im 1%-Bereich bemerken, aber falls das der Fall sein sollte, wäre ein häufigeres Spielen durchaus eine logische Reaktion.
Der Erwartungswert des Automaten beträgt E(n,p) = n*(-4.5*0.01 + 0.5*(0.99-p)). Mit steigendem p verringert sich zwar der Wert in der Klammmer, aber n*(...) wird grösser, weil mit jedem Prozentpunkt von p n um 15 ansteigt. In der Aufgabe wird der maximale Gewinn des Automaten gesucht. Der maximale Gewinn des Automaten ist gleichbedeutend mit dem maximalen Verlust des Spielers. Anders gesagt ist das Spiel dann maximal unfair (aus Sicht des Spielers).
Ich sehe, wir kommunizieren aneinander vorbei.
Ich hatte mir deine Formeln nicht genauer angeschaut, sondern mich nur auf das Fazit mit den drei Kritikpunkten konzentriert, sodass mir nicht aufgefallen ist, dass das, was du "Erwartungswert" nennst, nicht der Erwartungswert.
Ein Erwartungswert ist der Mittelwert, dem sich unendlich viele Zufallsexperimente als Grenzwert annähern. Z.B. ist der Erwartungswert der Augenzahl mit einem fairen Würfel genau 3,5. Natürlich kann man nie 3,5 würfeln, aber wenn man unendlich oft würfelt, sollte sich der Mittelwert der geworfenen Augenzahl 3,5 immer genau annähern.
Was deine Formel des vermeintlichen "Erwartungswert des Automaten" angibt, ist aber der zu erwartende Gesamtgewinn, nicht der Erwartungswert eines einzelnen Spiels.
Da sind wir uns einig.
Der Spieler ist von Anfang an im Nachteil, weil sein Erwartungswert negativ ist. (Das ist bei Glücksspielen üblich, sonst würde das Casino auf mittlere Sicht Pleite machen.)
Ein rein rationaler Spieler wird also gar nicht erst mit dem Spielen anfangen.
Solange der Erwartungswert des Spielers negativ bleibt, verdient das Casino. Weil der Verlust des Spielers der Gewinn des Automaten ist, bedeutet das natürlich, dass der Erwartungswert des Automaten positiv ist.
Was nun aber geschieht, ist dass dieser Erwartungswert sich zu Gunsten des Spielers entwickelt.
Er ist nach wie vor negativ! Das ändert sich erst, wenn p 90% erreicht hat. Bei diesem Wert für p ist der Erwartungswert für Spieler und Automat gleich 0. Steigt p weiter, dann wird der Erwartungswert für den Spieler positiv und für den Automaten negativ.
Wie gesagt, würde ein rationaler Spieler gar nicht erst mit dem Glücksspiel anfangen, aber wenn er schon spielt, dann verbessern sich seine Chancen mit steigendem p. Mit anderen Worten, sein Erwartungswert nimmt zu (er bleibt aber solange p<0,9 immer negativ).
Das Spiel ist auch nicht maximal unfair bei p=13⁄30.
Das Spiel ist beim niedrigsten Wert von p maximal unfair. (Im vorliegenden Beispiel beim Ausgangsszenario p=0,1; es sei denn, p war zuvor noch höher.)
Es ist deshalb dort maximal unfair, weil der Erwartungswert für den Spieler dort am geringsten ist, er also im Durchschnitt pro Spiel am meisten verliert.
Dass das Gewinnmaximum für den Automaten bei einem anderen p liegt, kommt daher, dass sich der Gesamtgewinn eben auch von der Anzahl der Spiele abhängt. Der Automat nimmt bei p=13⁄30 nicht deshalb am meisten ein, weil der Erwartungswert dort am größten wäre, sondern weil dort die Spieler länger spielen (und somit im Schnitt verlieren) als bei kleinerem p. (Ich übernehme hier die Interpretation der Prozentpunkte.)
Wir haben es mit zwei gegenläufigen Dynamiken zu tun:
Wenn p größer wird, sinkt der Erwartungswert des Automaten, aber es wächst die Anzahl der erwarteten, nun kleineren Einzeleinnahmen.
- Wäre die Anzahl der Spiele eine fixe Größe, würde der Gesamtgewinn des Automaten mit größer werdendem p stetig sinken.
- Wäre der Erwartungswert eine fixe Größe, würde der Gesamtgewinn des Automaten mit einer größer werdenden Spielanzahl stetig steigen.
Da sich aber beides gleichzeitig verändert, gibt es den sweet spot für maximale Gesamteinnahmen bei p=13⁄30.
Der Term (15p+50)*(0,45-0,005p) liefert den Gewinn in Abhängigkeit von p, wobei p hier die Zahl vor dem Prozentzeichen angibt.
Bildlich kannst Du Dir ein Glücksrad mit 100 gleich großen Feldern vorstellen. Ein Feld ist golden. Wenn das getroffen wird, gibt es 5 Euro. p Felder sind rot. Wer eins von diesen trifft, bekommt seinen Einsatz von 50 Cent zurück und hatte sozusagen ein Freispiel.
Die restlichen Felder sind weiß. Wer eins davon trifft, bekommt nichts und hat seinen Einsatz verloren.
Wenn p=0, verliert man auf 99 Feldern seinen Einsatz und gewinnt nur auf dem goldenen seine 5 Euro.
Wenn p=99, ist nach wie vor ein Feld golden (Gewinn 5 Euro), alle anderen sind rot (Freispiel). Ganz offensichtlich kann der Betreiber im letzten Fall nur verlieren.
Bei p=o dagegen wird sich kaum jemand finden, der bei einer Chance von 1:99 und nur 5 Euro Gewinn 50 Cent riskieren möchte.
Am besten fährt der Betreiber, wenn er 43 Felder (43 1/3 wäre optimal, aber nicht ganzzahlig) rot färbt. In diesem Fall hat er bei 695 Mitspielern pro Tag einen Gewinn von 163,33 € zu erwarten, während es bei p=10 wie im Beispiel lediglich 80 Euro wären.
Ab p=44 geht es mit dem Gewinn wieder abwärts, bis es schließlich im Verlust für den Betreiber endet.