Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Was ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung für beide Fälle?

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Answer 1

[mihisu]

============ 1. Fall: ohne Zurücklegen ============

Für X = 1 muss in der ersten Runde die weiße Kugel (1 weiße Kugel bei insgesamt 5 + 1 = 6 Kugeln) gezogen werden...

$P(X=1)=\frac{1}{6}$

Für X = 2 muss in der ersten Runde eine schwarze Kugel gezogen werden (5 schwarze Kugeln bei insgesamt 6 Kugeln) und in der zweiten Runde die weiße Kugel gezogen werden (1 weiße Kugel bei noch 5 verbleibenden Kugeln).

$P(X = 2)=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{6}$

Für X = 3 muss in der ersten Runde eine schwarze Kugel gezogen werden (5 schwarze Kugeln bei insgesamt 6 Kugeln) und in der zweiten Runde eine schwarze Kugel gezogen werden (4 schwarze Kugeln bei insgesamt 5 Kugeln) und in der dritten Runde die weiße Kugel gezogen werden (1 weiße Kugel bei noch 4 verbleibenden Kugeln).

$P(X=3)=\frac{5}{6}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{6}$

Analog dazu erhält man

$P(X=4)=\frac{5}{6}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

Da das Spiel spätestens nach der 5. Ziehung beendet ist, erhält man die Wahrscheinlichkeit für X = 5, indem man einfach von den gesamten 100 % (= 1) die bislang betrachteten Wahrscheinlichkeiten der anderen Möglichkeiten, dass das Spiel vorher endet, subtrahiert.

$P(X=5)=1-P(X < 5)$

$P(X=5)=1-\left(P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)\right)$

$P(X=5)=1-\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)$

$P(X=5)=1-\frac{4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Also:

$P(X=x)=\begin{cases}\frac{1}{6} & \text{ für }x\in\left\lbrace 1, 2, 3, 4\right\rbrace \\ \frac{1}{3} & \text{ für }x=5 \\ 0 & \text{ sonst}\end{cases}$

============ 2. Fall: mit Zurücklegen ============

Für X = 1 muss in der ersten Runde die weiße Kugel (1 weiße Kugel bei insgesamt 6 Kugeln) gezogen werden...

$P(X=1)=\frac{1}{6}$

Für X = 2 muss in der ersten Runde eine schwarze Kugel gezogen werden (5 schwarze Kugeln bei insgesamt 6 Kugeln) und in der zweiten Runde die weiße Kugel gezogen werden (1 weiße Kugel bei insgesamt 6 Kugeln).

$P(X=2)=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{36}$

Für X = 3 muss in der ersten Runde eine schwarze Kugel gezogen werden (5 schwarze Kugeln bei insgesamt 6 Kugeln) und in der zweiten Runde eine schwarze Kugel gezogen werden (5 schwarze Kugeln bei insgesamt 6 Kugeln) und in der dritten Runde die weiße Kugel gezogen werden (1 weiße Kugel weiterhin insgesamt 6 Kugeln).

$P(X=3)=\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{25}{216}$

Analog dazu erhält man

$P(X=4)=\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{125}{1296}$

Da das Spiel spätestens nach der 5. Ziehung beendet ist, erhält man die Wahrscheinlichkeit für X = 5, indem man einfach von den gesamten 100 % (= 1) die bislang betrachteten Wahrscheinlichkeiten der anderen Möglichkeiten, dass das Spiel vorher endet, subtrahiert.

$P(X=5)=1-P(X < 5)$

$P(X=5)=1-\left(P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)\right)$

$P(X=5)=1-\left(\frac{1}{6}+\frac{5}{36}+\frac{25}{216}+\frac{125}{1296}\right)$

$P(X=5)=1-\frac{671}{1296}=\frac{625}{1296}$

Also:

$P(X=x)=\begin{cases}\frac{1}{6} & \text{ für }x = 1 \\ \frac{5}{36} & \text{ für }x=2 \\ \frac{25}{216} & \text{ für }x=3 \\ \frac{125}{1296} & \text{ für }x=4 \\ \frac{625}{1296} & \text{ für }x=5 \\ 0 & \text{ sonst}\end{cases}$

Comments

[Sweetdreams264]

Danke! Und die b?

[mihisu]

@Sweetdreams264

Den Rest von Teilaufgabe a) hast du selbst hinbekommen?

Wo hast du denn Probleme bei der b)? Bei der Berechnung der Standardabweichung? [Wenn ja, genauer: Findest du bereits die Formel nicht, oder kannst du die nur nicht auf den konkreten Fall anwenden?] Bei der Plausibilitätsbegründung?

Und dann noch die Frage: Bist du nur zu faul, und willst eine Lösung haben? Oder interessiert dich tatsächlich die Lösung, und du kommst einfach nur nicht darauf?

Answer 2

[Biony]

ein spiel mit nzüge tritt mit der selben wahrscheinlichkeit auf wie das ereignis, das die erstn n-1 schwarz und der n.Zug weiß ist. das musst du nutzen.