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Abbildung, bei zweielementiger Bildmenge?

Guten Morgen (um halb 2),

Bei dieser Aufgabe scheiden sich momentan leider die Geister, was die Lösung angeht.

Wieviele Abbildungen von {1,2,3,4} nach {1,2,3,4,5,6} gibt es, für die die Bildmenge(i) zwei Elemente hat

Die offizielle Musterlösung behauptet folgendes

"Bei diesem Fall müssen wir besonders aufpassen, denn hier gibt es 2 Fälle. Erstens: 3 Zahlenwerden auf eine Zahl abgebildet und eine Zahl auf eine Andere. Zweitens: Jeweils 2 Zahlen bilden auf die selbe Zahl ab.Bei beiden Fällen gibt es 2 Zahlen im Bildbereich, die beliebig aber unterschiedlich gewähltwerden dürfen. Daraus folgen schon mal 6·5 M öglichkeiten. Im ersten Fall müssen 3 der 4 Argumente auf die selbe Zahl abgebildet werden. Dafür gibt es 4 Möglichkeiten. Beim zweiten Fall muss es zwei Pärchen bei 4 Zahlen geben. Dafür gibt es 6 Möglichkeiten, aber da die Fälle,wie “1 und 3, und 3 und 1 bilden ein Paar” gleich sind müssen wir die 6 noch durch 2 teilen. Es folgt: 6·5·(4 +6/2) = 210"

Mir ist jetzt unklar, warum 6 durch 2 geteilt werden muss. Wir haben doch 6 Fälle. 1 und 2 bilden auf diesselbe Zahl ab

1 und 3 bilden auf diesselbe Zahl ab

1 und 4 bilden auf diesselbe Zahl ab

2 und 3 bilden auf diesselbe Zahl ab

2 und 4 bilden auf diesselbe Zahl ab

3 und 4 bilden auf diesselbe Zahl ab

=> 6 Möglichkeiten

Jetzt steht aber im Text "Fälle wie 1 und 3 und 3 und 1 bilden ein Paar" müssen gestrichen werden.

Und daraus würden dann 6 / 2 Möglichkeiten resultieren.

Aber die 6 Möglichkeiten waren doch nur (1,2), (1,3), (1,4). (2,3), (2,4) und (3,4). Da war doch diese Doppelung (1,3) und (3,1) gar nicht enthalten.

Oder meinen die damit, dass man die Fälle, dass z.b. (1,3) auf die Zahlen (3,1) abgebildet werden, streichen muss? Dann müssten aber auch alle Fälle wie (1,2) bilden auf (2,1) ab u.s.w. gestrichen werden und nicht nur die Hälfte?

Nehmen wir mal an, die erste getroffene Zahl in der Bildmenge wäre die 5 und die zweite getroffene Zahl in der Bildmenge wäre die 6. (Klappt natürlich auch mit 3 und 4 oder 1 und 2 als getroffene Zahlen in der Bildmenge.

Komme trotzdem auf 6 Fälle

was meinen die mit mit "1 und 3 bilden ein Paar und 3 und 1 bilden ein Paar" Meinen die ein Paar in der Bildmenge? Oder das 1 und 3 und 3 und 1 auf diesselbe Zahlen abgebildet werden? Wie genau sehen diese 6 / 2 = 3 Fälle eigentlich aus?

Mit gräulichen Füßen,

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Stochastik: Standardabweichung!= durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert?

Hallo,

ich schreibe in 2-3 Wochen mein Matheabitur und es läuft schon ganz gut. Was ich mich jedoch schon immer gefragt habe: Warum rechnet man die Standardabweichung so aus, wie man es tut und macht das nicht gar keinen Sinn?

In der Schule rechnet man die Standardabweichung wie folgt aus:

erstens: Mittelwert/Erwartungswert bestimmen:

  • Bei Binomialverteilungen gilt ja µ = n*p
  • Bei Normalverteilungen muss man ja alle Ergebnisse addieren und dann durch die Anzahl teilen, dann hat man den Durchschnittswert µ.

zweitens: Varianz berechnen:

  • Binominal: var = v(x) = n*p*q
  • Normal: ((µ-ergebnis 1)^2+...+(µ-letztes Ergebnis)^2)/n

drittens:

  • sigma = var^(1/2) [also Wurzel aus var]

Für Binominal kann man stattdessen auch gleich sigma = (n*p*(1-p))^(1/2) rechnen. Mit hoch einhalb ist natürlich Wurzel gemeint, das Zeichen habe ich nur gerade nicht.

sooo und jetzt zum Beispiel wieso das keinen Sinn für mich macht:

Füllstand einer 250ml Flasche:

0x unter 248ml

2x 248ml

3x 249ml

20x 250ml

3x 251ml

2x 252ml

0x über 252ml

Mittelwert ist offensichtlich 250, kann man wenn man will mit Schritt eins berechnen. Nun zur Varianz:

var = (2*(250-248)^2 + 3*(250-249)^2 + 20*(250-250)^2 + 3*(250-251)^2 + 2*(250-252)^2)/30

<=> var = (2*(2)^2 + 3*(1)^2 + 0 + 3*(-1)^2 + 2*(-2)^2)/30

<=> var = (8 + 3 + 3 + 8)/30

<=> var = 22/30 = 11/15

Standardabweichung:

sigma = var^(1/2) | einsetzten

sigma = (11/15)^(1/2) | [Wurzel aus 11/15]

= 0,8563 [ml] | auf vier Nachkommastellen gerundet.

So. Und jetzt steht in jedem Schulbuch und überall im Internet: Wenn man eine zufällige Flasche untersucht liegt der Füllstand im Durchschnitt 0,8563ml vom Mittelwert 250ml entfernt.

Ich sehe nun aber: Es sind 30 Flaschen getestet worden. Bei 20 Flaschen war die Abweichung vom Mittelwert 250ml 0. Bei jeweils 6 Flaschen lag der Füllstand um einen Milliliter daneben. Bei vier lag er 2 Milliliter daneben.

Also:

durchschnittliche Abweichung = (20*0 + 6 * 1 + 4 * 2) / 30

= 10/30 = 1/3

Also liegt bei einer zufällig untersuchten Flasche der Füllstand im Durchschnitt 1/3ml und nicht sigma = 0,8563ml entfernt. Das macht überhaupt keinen Sinn... Was sagt die Standardabweichung denn dann aus?

Danke im Voraus

Schule, Mathematik, Statistik, Stochastik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Binomialverteilung, Mathe-Leistungskurs, Normalverteilung

Ist es wirklich sinnlos Kleinparteien zu wählen?

Viele Leute argumentieren ja damit, dass es sich eh nicht lohnt eine Kleinpartei zu wählen, weil sie sowieso an der 5%-Hürde scheitern und die Stimmen dann wertlos wären. Dann bekommt eine der etablierten Parteien die Stimme oder es wird gar nicht erst gewählt.

Ich sehe das anders. Je mehr Leute eine Kleinpartei wählen, desto niedriger könnte der Stimmenanteil für eine der etablierten Parteien z.B. CDU sein und vielleicht schafft es die Kleinpartei ja doch über die 5%-Hürde.

Szenario 1: 1000 Wähler, 50% Wahlbeteiligung

  • 150x CDU/CSU (30%)
  • 90x Grüne (18%)
  • 60x SPD (12%)
  • 40x AfD (8%)
  • 30x FDP (6%)
  • 30x Linke (6%)
  • 20x Die Partei (4%)
  • 20x Freie Wähler (4%)
  • 10x ÖdP (2%)
  • 10x Partei der Humanisten (2%)
  • 10x Volt (2%)
  • 30x Sonstige (6%)

Die etablierten Parteien bekommen 400 von 500 Stimmen, also 80%. Die Kleinparteien würden alle scheitern.

Szenario 2: 1000 Wähler, 70% Wahlbeteiligung

  • 175x CDU/CSU (25%)
  • 112x Grüne (16%)
  • 77x SPD (11%)
  • 49x FDP (7%)
  • 42x Linke (6%)
  • 42x AfD (6%)
  • 35x Die Partei (5%)
  • 35x Freie Wähler (5%)
  • 35x Partei der Humanisten (5%)
  • 28x ÖdP (4%)
  • 28x Volt (4%)
  • 42x Sonstige (6%)

Die etablierten Parteien bekommen 497 von 700 Stimmen, also nur noch 71%. Die Kleinparteien "Die Partei", "Freie Wähler" und "Partei der Humanisten" schaffen die 5%. CDU/CSU, SPD, Grüne und AfD verlieren Stimmenanteile.

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