Was bedeutet die Chi-Quadrat-Verteilung? Wie findet man den richtigen p-Wert (p= alpha oder 1 minus alpha)?
Wenn man 120 mal eine Münze wirft, sollten, statistisch gesehen, 60 mal Kopf und 60 mal Zahl auftreten. Der Versuch wurde durchgeführt, dabei wurden 55 mal Zahl und 65 mal Kopf gezählt. Ist dieses Ergebnis unserer Erwartung gemäß oder nicht? Die Vorgabe dazu lautet: Nein, wenn die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der gesehenen Abweichung geringer als 5 % ist.
Chi-Quadrat wurde berechnet:
Zahl: (55 - 60)² / 60 = 0,42
Kopf: (65 - 60) ² / 60 = 0,42
Gesamt: = 0,84
In dieser Aufgabe ist 1 Freiheitsgrad enthalten. Der p-Wert beträgt 5 % = 0,05. Der zugehörige Chi-Quadrat-Wert beträgt 3,841. Da der empirische Wert von 0.84 unter dem kritischen Wert von 3,841 liegt, muss die Nullhypothese angenommen werden. (Ho: Es gibt keinen Unterschied zwischen den beobachteten und den erwarteten Werten.) Dies ist ist die vorgegebene Erklärung.
Ich habe verstanden, dass der Chi-Quadratwert umso größer ist, je größer die Differenz zwischen den erwartetet und den gemessenen Werten ist. Wenn man Chi-Quadrat auf der x-Achse eines Koordinatensystems darstellt, erhält man ungefähr folgende Verteilungsfunktion:
Trotzdem ist mir unklar, was diese Grafik in unserem Beispiel aussagt. Was bedeutet die y-Achse? Und was genau besagt der kritische Wert, der zur Ablehnung oder zur Annahme der Nullhypothese führt?
Bei anderen Aufgaben zum Anpassungstest ist p = 1 minus Alpha; in diesem Fall 0,95 statt 0.05. Unter p = 0,95 hätte ich den kritischen Chi-Quadratwert gesucht, was offenbar falsch ist. Aber warum? Wie findet man den richtigen p-Wert?
1 Antwort
Der p-Wert ist die Fläche unter der Verteilungskurve, die rechts vom empirischen Chi² Wert liegt.
Ubrigens:
"Da der empirische Wert von 0.84 unter dem kritischen Wert von 3,841 liegt, muss die Nullhypothese angenommen werden. (Ho: Es gibt keinen Unterschied zwischen den beobachteten und den erwarteten Werten.)" ist nicht ganz richtig. Die Nullhypothese wird niemals angenommen, sondern allenfalls nicht-verworfen. Gerade bei kleinen Stichproben (= geringe statistische power bei der Testung) ein himmelweiter Unterschied. Und H0 lautet "der Anteil Kopf ist [in der Grundgesamtheit] exakt gleich dem Anteil Zahl".