Eine Inhaltsfunktion ist eine Abbildung
μ : P(R^n) —> [0,inf] mit
1) μ ist additiv:
Sind A,B disjunkte Teilmengen im R^n, so gilt μ(A U B) = μ(A) + μ(B).
2) μ ist translationsinvariant:
Ist f : R^n —> R^n eine Isometrie, so gilt μ(f(A)) = μ(A) für alle Teilmengen A im R^n.
3) μ ist normiert: Es gilt μ([0,1]^n) = 1
Nun sagt der Satz vom Haussorff, dass für alle n > 2 keine solche Inhaltsfunktion existiert.
Für den Beweis kann man das Banach-Tarski-Paradoxon nutzen. Man nimmt an, eine solche Inhaltsfunktion μ existiert auf ganz P(R^n) und betrachtet zwei nichtleere offene beschränkte Teilmengen A,B. Dann sind A und B disjunkte Vereinigungen von k Mengen A_i und B_i nach dem Banach-Tarski-Paradoxon. Wegen den Eigenschaften von μ folgt dann μ(A) = μ(B). Äquivalent heisst das, dass alle offenen beschränkten nichtleeren Teilmengen denselben Maß haben. Intuitiv ist klar, warum das ein Widerspruch ist, aber wie kann man das zeigen? Es müsste auf jeden Fall irgendwie der Normiertheit widersprechen. Da (0,1)^n ja auch eine solche Menge ist und Maß 1 hat, müssten also alle solchen Mengen den Maß 1 haben.
