Ähnlichkeitssätze bei Dreiecken?

Laut dem WW- Satz sind zwei Dreiecke ähnlich wenn sie in zwei Winkeln (also drei) übereinstimmen. Laut dem S : S : S - Satz, wenn sie im Verhältnis der entsprechenden Seitenlängen übereinstimmen.

Meine Frage ist also, muss das Verhältnis der Seitenlängen immer übereinstimmen, wenn zwei Winkel übereinstimmen?

In einer Aufgabe aus meinem Mathebuch habe ich zwei gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke (siehe Bilder). Die Hypotenuse von Dreieck S ist 8 LE Lang und die von Dreick S' 5 LE, während die Katheten von S 4 LE Lang sind und die von B 5 LE lang sind. Sind die Dreiecke ähnlich oder nicht?

Vielen Dank, schreibe morgen eine Schulaufgabe und würde das gerne davor klarstellen.

Answer 1

[MichaelH77]

wenn drei Winkel übereinstimmen, dann sind auch entsprechende Seitenverhältnisse gleich, weil die Dreieck ähnlich sind

du musst beim Seitenverhältnis die Diagonale berücksichtigen
die Diagonale ist Wurzel(2) mal so groß wie die waagrechte bzw. senkrechte Längen

das Verhältnis der Hypotenusen ist
$\frac{8}{5\cdot\sqrt{2}}$

und das der Katheten
$\frac{4\cdot\sqrt{2}}{5}$

beides ist gleich:

$\frac{8}{5\cdot\sqrt{2}}=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{5\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{5\cdot2}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{5}$

Answer 2

[ajkcdajefiu]

da du die beide Dreiecke aufeinanderlegen kannst, sind sie ähnlich zueinander

wenn zwei Winkel vorgegeben sind, ist das Seitenverhältnis doch sowieso automatisch vorgegeben

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – mein supa dupa Schulwissen!

Comments

[Patches143]

Aber wenn man das Verhältnis ausrechnet ist es doch 5/8 bei der Hypotenuse und 5/4 bei den Katheten, oder? Deswegen war ich unsicher

[MichaelH77]

@Patches143

deine Frage ist berechtig, weil du die Verhältnisse falsch berechnet hast, die schrägen sind jeweils um den Faktor Wurzel(2) größer