Extremwertaufgabe verpackung?
Wie löse ich diese aufgabe? Bitte helft mir. Ich komme nicht weiter
2 Antworten
Die Oberfläche soll minimal sein, also berechnest Du die Oberfläche abhängig von der Grundseite a und der Höhe h. Das ist die Extremalbedingung.
Das Volumen ist vorgegeben. Somit berechnest Du das Volumen, abhängig von Grundseite a und Höhe h. Das ist die Nebenbedingung.
Damit hast Du 2 Unbekannte und zwar a und h.
Die Nebenbedingung stellst Du nach einer der beiden Unbekannten um und setzt diese in die Extremalbedingung ein.
Nunmehr hast Du eine Funktion mit einer Unbekannten. Diese leitest Du ab, setzt sie gleich Null und bestimmst das Minimum.
Aufgabe a)
Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a beträgt a²/4 * √3
Die Oberfläche der Verpackung mit der Höhe b beträgt:
(I) 2*a²/4 * √3 + 3*a*b
Das Volumen der Verpackung beträgt
(II) a²/4 * √3 * b
Das Volumen soll 400 betragen:
(II) a²/4 * √3 * b = 400
Daraus folgt:
b = 1600/(√3 * a²)
b in (I) einsetzen:
(I) 2*a²/4 * √3 + 3*a*1600/(√3 * a²)
(I) √3 * (a³+3200)/(2a)
Das soll minimal werden. Über die erste Ableitung ergibt sich ein Mimumim für
a = 4 * 5^(2/3)
Daraus folgt:
b = 4/3 * √3 * 5^(2/3)
Aufgabe b)
Die Frage macht keinen Sinn, weil nicht angegeben ist,
- welche Form das Stück Pappe hat.
- wieviel Überstand an den Kanten nötig ist, um die Kanten zu verkleben.
- ob die Verpackung aus einem einzigen Stück Pappe gefertigt werden soll oder aus losen Teilen. Das betrifft vor allem eine mögliche Platzierung der beiden Grundflächen.
Für die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks gilt
a² = (a/2)² + h²
Daraus folgt:
h² = a² - a²/4 = 3a²/4
h = sqrt(3)*a/2
Fläche h * a *1/2 = sqrt(3)*a²/4
beträgt a²/4 * √3
Wie kommst du darauf?