Mathe Hilfe sehr schwere Aufgabe?
Hallo, wir sollen diese Aufgabe in Mathe lösen, aber sie ist ziemlich schwer und keiner versteht sie. Kann jemand helfen, wie man sie löst ?
5 Antworten
Hallo,
Grundfläche x², Hohe y. Nebenbedingung x²*y=1.
Oberfläche: 2x²+4xy. Diese soll minimiert werden.
Nebenbedingung nach x oder y auflösen, in die Oberflächenformel einsetzen, nach der verbleibenden Unbekannten auflösen, ableiten, Ableitung gleich Null setzen.
Tipp: Der Würfel hat bei gleichem Volumen die geringste Oberfläche unter den Quadern.
Herzliche Grüße,
Willy
Wen der Schüler etwas nicht versteht, macht er sich zuerst eine Tabelle oder eine Skizze:
Zielfunktion ist die Oberfläche, denn die entspricht dem nötigen Verpackungsmaterial:
O = 2 * a^2 + 4 * a * h
O soll minimal werden. Das ist jetzt aber blöd, weil wir zwei Variablen haben, nämlich a und h. Eine kriegen wir los, wenn wir eine Nebenbedingung aufstellen:
V = a^2 * h = 1000 cm^3
das lösen wir nach h auf:
h = 1000 / a^2 (alle Maße abe jetzt in cm)
und setzen h in die Zielfunktion ein:
O = 2a^2 + 4a * 1000/a^2
O = 2a^2 + 4000/a
O soll minimal werden, also leiten wir es ab:
O' = 4a - 4000/a^2
und setzen es zu 0:
4a - 4000/a^2 = 0
Nun müssen wir nach a auflösen:
mal a^2:
4a^3 - 4000 = 0
a^3 - 1000 = 0
a^3 = 1000
a = ∛1000 = 10 cm
damit können wir auch h berechnen, siehe oben:
h = 1000 / a^2 = 1000/10^2 = 10 cm
Ergebnis: den minimalen Verpackungsverbrauch erhalten wir bei einem Würfel mit der Seitenlänge 10 cm
Stelle eine Gleichung über die Oberfläche auf ...
O = 2 * a² + 4 * a * h
und eine Gleichung über das Volumen (Nebenbedingung) ...
V = a² * h
Die zweite Gleichung stellst Du nach a oder h um und setzt diese in die erste Gleichung ein.
Damit erhälst Du eine Funktionsgleichung, die Du nach der Unbekannten ableiten und gleich Null setzen kannst, um das Minimum zu bestimmen.
...
Tipp:
V: Volumen der Milchverpackung
h: Höhe
a: Seitenlänge der quadratischen Grundfläche
M: Mantelfläche = Materialverbrauch
Nun h aus (1) in (2):
Jetzt nach a ableiten und Nullstelle suchen.
Das Volumen ist ja gegeben. Die Verpackung besteht aus dem Oberflächeninhalt plus den Nähten. Die soll minimal sein. Du musst also eine Funktion für den Oberflächeninhalt plus Nähte finden und diese Funktion soll dann minimal sein. Das Minimum findest du, indem du die Funktion ableitest und null setzest.
Vielen Dank für den Stern.
Willy