Mathe Vektor Aufgabe Hilfe bitte?
Hallo brauche dringend Hilfe bei dieser Mathe Aufgabe. danke !
1 Antwort
Ich habe solche Aufgaben aus der analytischen Geometrie schon länger nicht mehr gemacht (obwohl ich das zum Zeitpunkt meines Mathe-LK-Abis drauf hatte).
Ich denke aber, ich kann etwas Hilfestellung geben.
Zu Teilaufgabe a): Eine Pyramide mit viereckigem Grundriss sollte ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleichem Grundriss und gleicher Höhe haben.
Das Volumen eines Spats (eines Prismas, das ein Parallelogramm zur Grundfläche hat) berechnet sich aus dem Spatprodukt der drei Vektoren, die von einer Ecke entlang jeweils einer Seite an die Ecke am Ende der jeweiligen Seite zeigen.
Da ein Quadrat ein spezielles Parallelogramm ist, sollte man das im vorliegenden Fall machen dürfen.
Bei Teilaufgabe b) suchst du den Mittelpunkt einer eingeschriebenen Kugel. Weiß nicht, ob's da eine fertige Formel dazu gibt, vermutlich schon, aber mein Ansatz wäre, die Ebenengleichungen für die Grundfläche und zwei Seitenflächen aufzustellen und von diesen drei Ebenen die Normalenvektoren zu bestimmen.
Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises ist der Punkt, wo die Länge aller drei Normalenvektoren auf die jeweils zugehörige Ebene gleich ist.
Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe sind volumengleich (das ergibt sich z.B. aus dem Satz des Cavalieri).
Es gilt also nachzuweisen, dass die alle Punkte der Geraden den gleichen Abstand zur Grundfläche haben (weil dann die Höhe gleich ist).
Das ist dann der Fall, wenn die Gerade parallel zur Grundfläche verläuft.
Alternativ könnte man wie in Teilaufgabe a) auch wieder ein Drittel des Spatproduktes berechnen, wobei der Vektor, der zur Spitze deutet, in Abhängigkeit von t formuliert werden muss.
Wenn ich das richtig in Erinnerung habe, würde sich der Punkt S_t so darstellen, dass die jeweiligen Koordinaten in dem Vektor 2t, t, und 8 wären. (Weiß leider nicht, wie ich mit dem Formeleditor einen Vektor darstellen kann.)
Normalerweise sollte das t bei Ermittlung des Spatproduktes wegfallen, was zeigen würde, dass das Volumen von t unabhängig ist.